¿Existen soluciones no lineales para $f(x+1) - f(x) = f'(x)$ ?
(Pregunta formulada por bcross at math.iuiui.edu en el tablón de preguntas y respuestas de JMM).
Respuestas
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Danimal
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Sí, existen soluciones no lineales.
Multiplicar por $e^{x+1}$ y ajuste $g(x):=e^x f(x)$ transforma la pregunta en encontrar una solución a $g(x+1)=eg'(x)$ no de la forma $e^x(ax+b)$ .
Comience con cualquier $C^\infty$ función en $\mathbb{R}$ cuya serie de Taylor centrada en $0$ y $1$ son idénticos $0$ pero que es distinto de cero en algún lugar dentro de $(0,1)$ . Restringirlo a $[0,1]$ . Sea $g(x)$ en $[0,1]$ sea esto. Utilizando $g(x+1):=eg'(x)$ para $x \in [0,1]$ extiende $g(x)$ a un $C^\infty$ función $g(x)$ en $[0,2]$ que puede ampliarse a $[0,3]$ etc. En el otro sentido, utilice $g(x) := \int_0^x e^{-1} g(t+1) dt$ para definir $g(x)$ para $x \in [-1,0]$ y luego para $x \in [-2,-1]$ etc. Estas piezas se unen para dar $C^\infty$ función $g(x)$ en todos $\mathbb{R}$ . La correspondiente $f(x)$ satisface $f(0)=0$ y $f(1)=0$ pero no es idéntico $0$ por lo que no es lineal.
Gowri
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Esto es una elaboración del comentario anterior de Qiaochu Yuan: hay soluciones complejas (de hecho, infinitamente muchas) para $e^t-1 = t$ y luego $e^{tx}$ es una solución.
Una raíz, la única raíz real, es $t=0$ que en realidad es una raíz doble. Así tenemos una solución de dos términos para este valor de $t$ que es el conocido $y=ax+b$ .
Las otras raíces para $t$ son complejos y, por tanto, aparecen como pares conjugados.
Herms
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13069
Teorema 1 en [Sugiyama, Shohei. Sobre los teoremas de existencia y unicidad de ecuaciones diferenciales-diferenciales. Kōdai Math. Sem. Rep. 12 1960 179--190. MR0121552 ] (que probablemente pueda obtener de aquí ) da un teorema de existencia y unicidad que proporciona soluciones no lineales en intervalos finitos .
memorial
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Después de que volviera a surgir esta pregunta, me pareció que pedía a gritos un uso de la transformada de Fourier (FT). He decidido publicarla como respuesta, ya que este enfoque es transparente y proporciona un método sistemático para obtener todas las soluciones (distribucionales).
Una simple manipulación formal (que se justificará más adelante) muestra que el FT $g$ (con variable independiente $z$ ya que, por razones que se aclararán más adelante, la estamos considerando como una función entera definida en el plano complejo) de una solución satisface la ecuación $$(e^{-iz}+1+iz)g(z)=0.$$
En términos clásicos, esto sólo proporciona la solución cero, pero en el sentido de las distribuciones tiene muchas no triviales, de hecho, combinaciones adecuadas de $\delta$ -con singularidades en los ceros de la función entre paréntesis. La solución resultante para un polo simple, es decir, la FT inversa de la función delta correspondiente, es exactamente una de las soluciones dadas en las respuestas anteriores. Esto se puede utilizar para dar una descripción precisa de todas las posibles soluciones de la ecuación original.
Para motivar este enfoque, comenzamos con un inciso histórico sobre el FT de las distribuciones: El problema de la extensión de la FT a este último escenario fue motivado por aplicaciones en física y fue estudiado en detalle por muchos autores a mediados del siglo pasado. Laurent Schwartz consideró el caso de las distribuciones atemperadas en su monografía seminal, pero se pueden realizar construcciones similares en muchas otras situaciones. El punto de partida básico para tal extensión es un escenario inicial en el que la FT establece un isomorfismo entre dos espacios l.c. específicos de funciones de prueba (es decir, funciones con buenas propiedades de suavidad y/o crecimiento). A continuación, se utiliza la transposición (en el sentido de la teoría de la dualidad para c.l.) para traducir esto en un isomorfismo entre los espacios duales correspondientes. Estos últimos consisten en distribuciones (generalizadas). Schwartz utilizó el caso (simétrico) de las funciones suaves de rápido decrecimiento para extender la FT a las distribuciones templadas, pero hay muchos casos no simétricos que son de interés, como es el caso aquí.
Requerimos el concepto y propiedades sencillas de la FT aplicada a distribuciones ARBITRARIAS sobre la recta y para ello utilizamos el hecho de que es un isomorfismo entre las funciones suaves sobre la recta con soporte compacto y un espacio adecuado de funciones enteras de crecimiento exponencial. (Este es el teorema de Paley-Wiener-Schwartz, cuyos detalles se pueden encontrar en la monografía de Strichartz "A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms", donde es Th. 7.2.1 en la p. 113). Dualizando, obtenemos una versión de la FT que funciona para TODAS las distribuciones: toma sus valores en un espacio de funcionales analíticas (un superespacio del espacio dual del espacio de Fréchet de funciones enteras). Éste puede describirse explícitamente, pero para nuestros propósitos basta con saber que contiene las funciones delta en el plano complejo, junto con las combinaciones adecuadas. Con este aparato, los cálculos formales anteriores se pueden simplificar para dar un tratamiento riguroso que identifique todas las soluciones posibles de la ecuación anterior.
user110389
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Notación : los puntos finales de los intervalos están separados por ";" ( en lugar de ",") -- Por ejemplo $\ [0;1].$
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Dada una función $\ C^{\infty}$ -función $\ f:\mathbb R\to\mathbb R\ $ tal que $$ \forall_{x\in\mathbb R}\quad f(x+1)-f(x)\ =\ f'(x) $$ todas las derivadas son también soluciones: $$ \forall_{n\in\mathbb N}\,\forall_{x\in\mathbb R}\quad f^{(n)}(x+1)-f^{(n)}(x)\ =\ f^{(n+1)}(x) $$
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Dada una función $\ C^{\infty}$ -función $\ f_0:[0;1]\to\mathbb R\ $ tal que $$ f_0(1)\ =\ f_0(0)\ + f_0'(0) $$ y además ( gracias, @PietroMayer -- por favor, vea el comentario de Pietro bajo esta "Respuesta" ):
$$ \forall_{n\in\mathbb N}\quad f_0^{(n)}(1)\ =\ f_0^{(n)}(0)\ + f_0^{(n+1)}(0) $$
(existe un continuo de funciones tan diferentes $\ f_0)$ tenemos (recursivamente) funciones $\ f_n:[n;\,n+1]\to\mathbb R\ $ definida del siguiente modo:
$$ \forall_{n\in\mathbb R}\,\forall_{x\in[n;\,n+1]}\quad f_n(x)\ :=\ f_{n-1}(x-1)+f_{n-1}'(x-1) $$
( trabajamos aquí con las derivadas unilaterales en los puntos enteros ) por lo tanto
$$ \forall_{n\in\mathbb R}\,\forall_{x\in[n;\,n+1]}\quad f'_n(x)\ :=\ f'_{n-1}(x-1)+f_{n-1}''(x-1) $$
Entonces, por inducción, $$ f_n(n)\,\ =\ f_{n-1}(n-1)+f_{n-1}'(n-1)\ =\,\ f_{n-1}(n) $$ y $$ f'_n(n)\,\ =\ f'_{n-1}(n-1)+f_{n-1}''(n-1)\ =\,\ f'_{n-1}(n), $$ y lo mismo para las derivadas superiores. Por tanto, existe una única $C^{(\infty)}$ -función $\ f:[0;\infty)\to\mathbb R\ $ que amplía todos los $\ f_n,\ $ y satisface la ecuación diferencial de OT.
Evidentemente, existe una construcción similar para media línea arbitraria $\ [a;\infty)\to\mathbb R;\ $ podemos incluso definir simplemente $\ g_a:[a;\infty)\to\mathbb R\ $ por $\ g(x):=f_0(x-a),\ $ donde $\ f_0\ $ sería como arriba, etc.
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Es fácil ver que la extensión de la función cero $\ \theta:[0;1]\to\mathbb R $ en $\ [0;\infty),\ $ que satisface la ecuación de OT, es la función cero.
Además, cualquier ampliación de este tipo $\ \Theta\ $ de $\ \theta,\ $ en cualquier intervalo $\ (a;1]\ $ para $\ a<0,\ $ debe cumplir $$ \forall_{x\in[-1;0]}\quad \Theta(x)+\Theta'(x)\ =\ 0 $$ por lo que la extensión sería de la forma $\ C\cdot\exp(-x)\ $ de ahí $\ C=0.\ $ Por tanto, la extensión es la función cero. Y paso a paso, cualquier extensión de este tipo en sentido negativo debe ser la función cero. En particular, existe exactamente una extensión de $\ \theta\ $ en $\ \mathbb R,\ $ es decir, la función cero.
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Ahora se deduce fácilmente que cualquier extensión de OT en la dirección negativa, si existe, es única. Sin embargo, no he abordado la cuestión de la existencia de las extensiones en sentido negativo.
