Hallar los valores propios de una matriz binaria cuyos elementos diagonales son todos 0s y los no diagonales son 1s.

Question

Cómo hallar los valores propios de un $n$ x $n$ matriz cuyos elementos diagonales son todos 0s y los no diagonales son todos 1s ?

Por favor, no digas la solución. Sólo quiero una pista.

Answer 1

El vector $(1,1,\cdots,1)$ es un vector propio. Se necesita $n-1$ más (contando con multiplicidad). Considera tu matriz más la identidad.

Answer 2

Pista: operaciones de escalonamiento de filas a Compute $\det(A-xI)=\begin{pmatrix} -x & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & -x & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots& \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & 1 & \cdots & -x \end{pmatrix}$ ;

$$\forall i, ~~ 2\le i\le n :~C _1-C _i,~~~~ R_1+R_i$$

donde $R$ significa fila y $C$ significa columna . Ahora;

$$\det(A-xI)=(-x+(n-1))(-x-1)^{n-1}\color{red }{\longrightarrow} x=n-1 ,-1$$

Answer 3

Generalizar. Considere $A=aI+b\mathbf{1}\mathbf{1}^T$ donde $\mathbf{1}$ es el vector todo-uno $(1,1,\ldots,1)^T$ . Multiplicar ambos lados por un vector distinto de cero $v$ a la derecha. Si $Av=\lambda v$ ¿puede resolver $\lambda$ ?