Ondas estacionarias en cuerdas de diferentes densidades

Question

Estoy bastante confuso con la interferencia de ondas que debe producirse en una cuerda con diferentes densidades.
Digamos, por ejemplo, que tenemos una cadena de longitud 2L . Y la primera L la pieza tiene masa por unidad de longitud u mientras que la segunda parte tiene una masa por unidad de longitud 9u .

Una onda se propaga continuamente desde la cuerda más ligera con la frecuencia deseada.
Ahora la onda llega a la unión y parte de ella se transmite y parte se refleja (W1) con diferencia de fase $\pi$ . La onda transmitida llega al otro extremo y vuelve con diferencia de fase $\pi$ y vuelve a cruzar el cruce (W2) .

1. Para que se formen ondas estacionarias, ¿es necesario que la W1 esté en fase con la onda inicial o que la W2 esté en fase con la onda inicial?

2. Supongamos que observo ondas estacionarias a una frecuencia $ f_1, f_2, f_3 ... $ cuál sería la forma de la cuerda. No puede ser simple un bucle, dos bucles, tres bucles, respectivamente, ya que la longitud de onda de la onda cambia cuando vamos de un lado a otro.

Answer 1

Hay mucha información útil (y algunas animaciones estupendas) en Página de Daniel Russell con animaciones sobre acústica y vibraciones .

Cabe destacar que la amplitud de la onda reflejada puede calcularse a partir de la impedancia de onda. La impedancia de onda viene dada por

$$Z = \rho c = \sqrt{\rho T}$$

Y la amplitud de la onda reflejada viene dada por

$$A_r = \frac{Z_1 - Z_2}{Z_1+Z_2} A_i$$

En $Z_2 = 3Z_1$ se deduce que $A_r = -\frac12 A_i$ para la onda que viaja de izquierda a derecha, y $A_r' = \frac12 A_i'$ para la onda que viaja de derecha a izquierda. La amplitud transmitida viene dada por

$$A_t = \frac{2Z_1}{Z_1+Z_2}$$

Viajando de baja a alta densidad, esto es de nuevo $A_t = \frac12 A_i$ mientras que de derecha a izquierda es $A_t' = \frac32 A_i'$ .

En este diagrama se muestra parte del rebote de las olas:

En (a), un solo pulso se desplaza hacia la derecha. Se refleja parcialmente en el límite, y un pulso de la mitad de la amplitud (y 1/3 de la longitud de onda) continúa hacia la derecha, mientras que el resto se refleja y se invierte en (b). En (c), la onda de la izquierda ha regresado, mientras que la de la derecha sigue viajando hacia la derecha. Se produce otra transmisión/reflexión y se obtiene una fracción aún más pequeña de la onda de la izquierda y un segundo pulso a la derecha en (d). Si continuaras este diagrama, verías que el movimiento a izquierda y derecha es una suma infinita de ondas de diferentes amplitudes y tiempos; una solución de estado estacionario sólo puede existir para ciertas frecuencias, que calcularemos a continuación.

Este diagrama es el que se vería si pudieras dar una pequeña "patada" al extremo izquierdo de la cuerda y observaras cómo se propagan las ondas. A medida que estos impulsos viajan de un lado a otro, suele ocurrir que las frecuencias más altas se amortiguan y queda una onda estacionaria. En principio, se puede hacer el mismo diagrama con ondas sinusoidales, pero rápidamente quedaría muy desordenado, así que pasemos al tratamiento matemático:

Se sabe que la velocidad de propagación de la onda es proporcional a la raíz cuadrada inversa de la masa por unidad de longitud; así, si se tiene la mitad de la cuerda a densidad $\rho$ y la otra mitad a densidad $9\rho$ entonces la onda viaja 3 veces más rápido en la parte más fina de la cuerda - y debería haber más ondas en la parte gruesa.

Para dibujar esto, necesitas encontrar una función que sea continua tanto en amplitud (para que la cuerda no se rompa) como en la primera derivada (de lo contrario habrá una aceleración infinita en el "pliegue" hasta que vuelva a ser suave). Esto significa que a la izquierda del centro, es de la forma

$$y = A_1 \sin(k x)$$ mientras que a la derecha es

$$y = A_2 \sin(3k (2L-x))$$

(Utilizando el $\sin$ función de base así hacemos cumplir las condiciones de contorno en x=0 y x=2L).

La continuidad de la amplitud implica que

$$A_1 \sin(kL)=A_2\sin(3 kL)$$

y continuidad de la primera derivada:

$$A_1 k \cos(kL)=-3 A_2 k \cos(3 kL)$$

Ahora podemos resolver el número de onda $k$ y la relación de amplitudes en las dos mitades de la cuerda. Poniendo $A_1=1$ para simplificar, podemos dividir las dos ecuaciones entre sí y encontrar que

$$\tan{ kL} = -3 \tan(3 kL)$$

Yo no soy lo bastante listo para resolver esa ecuación, pero Wolfram Alpha sí. Me da

$$\begin{align}kL &= n\pi\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13-4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi - 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &= 2n\pi + 2\tan^{-1}\left(\sqrt{\frac13\left(13+4\sqrt{10}\right)}\right)\\ &\rm{with ~ n\in \mathbb{Z}}\end{align}$$

Aquí están los gráficos de 4 armónicos diferentes calculados a partir de lo anterior:

Curiosamente, para el modo trivial en el que hay un nodo en la unión, la relación de amplitudes de las ondas necesarias para la continuidad es diferente (3:1 frente a 1,5 : 1). No sé a qué se debe.

Descargo de responsabilidad: es posible que haya un error en mis cálculos anteriores... pero estoy bastante seguro de que los principios son sólidos.

Answer 2

Pensar en las ondas estacionarias en términos de reflexiones a partir de la discontinuidad en el centro es una receta para la confusión. He aquí una solución más fácil.

Como la tensión de la cuerda será uniforme, pero la relación masa/longitud cambia en un factor de 9 en el punto medio, tendrás que hacer coincidir el desplazamiento y la pendiente en la discontinuidad.
$$\begin{align} D(x)&=A\sin (kx) & \text{for }x&<L \\ D(x)&=B\sin (3k(2L-x))&\text{for }x&>L \\ \\ A\sin (kL)&=B\sin (3kL) \\ A\cos (kL)&=-3B\cos (3kL) \\ \end{align}$$ Divide la primera ecuación por la segunda para eliminar A y B: $\tan (kL)=-\tfrac{1}{3}\tan (3kL)$ . Podrías resolver esta desagradable ecuación trascendental gráficamente para los valores admisibles de k y, a continuación, introdúzcalo para obtener A/B .

Answer 3

Básicamente concluyo que no es posible una onda estacionaria comparable a la de una cuerda homogénea. He aquí la explicación:

Para una onda en una cuerda, la frecuencia fundamental de vibración (la frecuencia más baja que dará lugar a una onda estacionaria) es: $$f_1 = {\sqrt{T\over{m/L}}\over2L}\quad \tag1$$ de Ref donde $T$ , $m$ y $L$ son la tensión, la masa y la longitud de la sección de cuerda.

Frecuencias de vibración más altas $f_2$ , $f_3$ ... (llamados armónicos), que son múltiplos enteros de la frecuencia básica, se consiguen aquí aumentando la tensión en múltiplos de $T$ . A estas frecuencias en las que las ondas estacionarias son visibles, la onda visible es la suma de las ondas que se desplazan hacia la izquierda y hacia la derecha a lo largo de la cuerda (véase animación donde el amarillo es la suma del azul (que se mueve a la izquierda) y el verde (que se mueve a la derecha)).

Si tu cuerda tiene dos o más secciones con diferente masa por unidad de longitud, entonces para conseguir una onda estacionaria a una frecuencia determinada:

1. La frecuencia de vibración debe coincidir con la frecuencia de vibración fundamental de cada sección de cuerda multiplicada por algún número entero (se admiten distintos números enteros por sección, es decir, la frecuencia fundamental de una sección puede coincidir con la $2^{nd}$ o $3^{rd}$ armónico de otra sección).

2. Las ondas reflejadas en la interfaz de dos secciones de cuerda que se mueven en dirección opuesta no deben interferir destructivamente con las ondas que se mueven en dirección de avance.

3. Dado que los tramos de cuerda están conectados, tendrán la misma tensión, por lo que se trata de una restricción.

Parece que podemos cumplir las condiciones 1 y 2, siempre que las secciones de cuerda vibren en armónicos diferentes. En tu pregunta, donde una sección tiene 9 veces la densidad lineal de otra, así:

(9 x la frecuencia fundamental de la sección con densidad lineal $u$ ) = (la frecuencia fundamental de la sección con densidad lineal $9u$ ).

En condición insuperable es que simultáneamente, la frecuencia en una sección debe ser igual a la frecuencia en la otra sección, y la tensión en una sección debe ser igual a la tensión en la otra sección, lo que, como podemos ver en la ecuación $1$ es imposible para secciones con densidades lineales diferentes .

Si decides visualizar el movimiento de las ondas utilizando la ecuación de amplitud de onda:

$y = A\sin({\omega t + \phi})\tag2$ de Ref donde $y$ es la posición vertical en la que se encuentran dos tramos de cuerda, $\omega$ es la frecuencia angular de la vibración y $\phi$ es el ángulo de fase/desplazamiento de la onda (constante), se llega a la misma restricción ya que:

• La ecuación simplemente describe un movimiento en el que la tensión ya está entre secciones de cuerda de diferente densidad lineal. densidad lineal.
• $\omega$ es un múltiplo de la vibración fundamental frecuencia $f_1$ .
• Por lo tanto $\omega$ no es el mismo para los dos tramos de cuerda, de diferente densidad lineal, que se encuentran en un punto determinado.

Answer 4

Para simplificar las cosas, empecemos por:

Supongamos que observo ondas estacionarias a una frecuencia $f1,f2,f3$ ... cuál sería la forma de la cuerda. No puede ser simple un bucle, dos bucles, tres bucles, respectivamente, ya que la longitud de onda de la onda cambia cuando vamos de un lado a otro.

La velocidad de la onda en una cuerda viene dada por $ v = \sqrt{\frac T\mu} $ donde $T$ es la tensión en la cuerda y $\mu $ es la masa por unidad de longitud de la cuerda.

Como la segunda parte es nueve veces más densa que la primera, y la tensión en ambas cuerdas es la misma, está claro, $$ v_1 = 3v_2$$

Así que las longitudes de onda en las partes estarán relacionadas como $\lambda_1 = 3\lambda_2$ ya que la frecuencia de la onda seguirá siendo la misma en toda la cuerda. Así que la cuerda, en su frecuencia fundamental, se verá algo como:

Para frecuencias más altas, basta con multiplicar el número de semilongitudes de onda entre $AB$ y $BC$ a la frecuencia fundamental por el nivel del armónico para obtener el número de semilongitudes de onda a la $n^{th}$ armónico.

Ahora veamos esto:

Para que se formen ondas estacionarias ¿el $W_1$ tiene que estar en fase con la onda inicial o la $W_2$ tienen que estar en fase con la onda inicial.

Para la onda estacionaria fundamental, $W_2$ estará en fase con la onda inicial cuando se encuentre por primera vez con la unión. $W_1$ no estará en fase con la onda inicial después de la primera reflexión. Pero eso cambiará tras las siguientes reflexiones/transmisiones.

(Por estar en fase me refiero a que oscilarán en el mismo lado de la cuerda, y supongo que te referías a lo mismo)

Esto se debe a que $W_1$ se someterá a un $\pi$ cambio de fase cuando se refleja en la unión $B$ . Además, para cuando $W_2$ viajará de B a C y de vuelta a B, $W_1$ habrá viajado de B a A y viceversa tres veces. El $W_2$ reflejada en C sufrirá $\pi$ y, por tanto, cuando entre en la primera parte en B, estará en fase con la onda inicial.

Espero que tenga sentido. Si no, házmelo saber en los comentarios