¿Cuándo se cumple el Teorema de Torelli?

Question

El teorema de Torelli establece que el mapa $\mathcal{M}_g(\mathbb{C})\to \mathcal{A}_g(\mathbb{C})$ llevando una curva a su jacobiano es inyectiva. He visto un par de pruebas, pero todas parecen basarse en que el campo de tierra es $\mathbb{C}$ de alguna manera. Así que..:

¿En qué condiciones se cumple el Teorema de Torelli?

¿Es necesario que sea algebraicamente cerrado? ¿Característica cero? ¿Se sabe si hay otros anillos/esquemas de base sobre los que sea cierto?

Answer 1

El teorema de Torelli es válido para curvas sobre un campo terreno arbitrario $k$ (en particular, $k$ no tiene por qué ser perfecta). En el apéndice de J.-P. Serre al libro de Kristin Lauter 2 se puede encontrar un buen tratamiento del teorema de Torelli "fuerte". Serre al artículo de 2001 de Kristin Lauter en el Journal of Algebraic Geometry Métodos geométricos para mejorar los límites superiores del número de puntos racionales en curvas algebraicas sobre campos finitos . Está disponible en arxiv:

http://arxiv.org/abs/math/0104247

He aquí las declaraciones (traducidas al inglés):

Sea $k$ sea un campo, y sea $X_{/k}$ sea una curva agradable (= suave, proyectiva y geométricamente integral) sobre $k$ del género $g > 1$ . Sea $(\operatorname{Jac}(X),\theta_X)$ denotan el jacobiano de $X$ junto con su polarización principal canónica. Sea $X'_{/k}$ otra bonita curva.

Teorema 1: Supongamos $X$ es hiperelíptica. Entonces para cada isomorfismo de variedades abelianas polarizadas $(\operatorname{Jax}(X),\theta_X) \stackrel{\sim}{\rightarrow} (\operatorname{Jac}(X'),\theta_{X'})$ existe un único isomorfismo $f: X \stackrel{\sim}{\rightarrow} X'$ tal que $F = \operatorname{Jac} f$ .

Teorema 2: Supongamos $X$ no es hiperelíptica. Entonces, para cada isomorfismo $F: (\operatorname{Jax}(X),\theta_X) \stackrel{\sim}{\rightarrow} (\operatorname{Jac}(X'),\theta_{X'})$ existe un isomorfismo $f: X \stackrel{\sim}{\rightarrow} X'$ y $e \in \{ \pm 1\}$ tal que $F = e \cdot \operatorname{Jac} f$ . Además, el par $(f,e)$ está determinada de manera única por $F$ .