Hipercarga para $U(1)$ en $SU(2)\times U(1)$ modelo

Question

Entiendo que la representación fundamental de $U(1)$ equivale a una multiplicación por un factor de fase, por ejemplo EM. Pensaba que cuando se extendiera a representaciones de mayor dimensión, se convertiría simplemente en un factor de fase multiplicado por la matriz identidad.

• ¿Puede alguien explicar dónde entra la hipercarga en el $U(1)$ matrices generadoras en $SU(2)\times U(1)$ modelo, por ejemplo $Y = -(1/2) I$ en $(2, -1/2)$ ¿representación?

• No entiendo muy bien dónde está el " $-1/2$ ". ¿De dónde vienen todos estos hipercargos?

• ¿Cuál es la lógica de elegir un valor concreto como $-1/2$ ?

Answer 1

1) En primer lugar, hipercarga suele referirse al (fuerte) hipercarga $Y$ relacionada con la interacción fuerte y (fuerte) isospin $(\vec{I}^2,I_3)$ . En cambio, la pregunta(v1) trata de la isospín débil $(\vec{T}^2,T_3)$ y el hipercarga débil $Y_W$ del gauge electrodébil Grupo de Lie $SU(2)\times U(1)$ de la Modelo Glashow-Salam-Weinberg (GSW) .

2) En segundo lugar, hay un problema de normalización. Algunos autores (por ejemplo, Peskin y Schroeder, OP) definen

$$Y_W~:=~Q-T_3,$$

donde

$$Q~=~\frac{q}{e}$$

es la carga eléctrica en unidades de la carga elemental $e$ mientras que otros autores (p. ej, Wikipedia ) tiene

$$Y_W~:=~2(Q-T_3).$$

Si OP utiliza esta última convención, su " $-1/2$ " se convertiría en el más natural " $-1$ ":-) Bueno, es broma: Una elección de normalización no explica, por supuesto, nada.

3) Una partícula elemental en el modelo GSW se transforma en un Representación del álgebra de Lie

$$\rho: L~\to~ gl(V)$$

del álgebra de Lie gauge electrodébil $su(2) \oplus u(1)$ . (También existen Grandes teorías unificadas (GUT) con álgebras de Lie gauge mayores, p. ej, $su(5)$ cf. el comentario de arivero. Sin embargo, aquí nos centraremos principalmente en la pregunta original del OP(v1) para simplificar). Recordemos que un elemento del álgebra de Lie

$$x~=~\sum_a x^at_a~\in~ L$$

en un álgebra de Lie abstracta $L$ puede escribirse como una combinación lineal de algunos elementos de base $t_a$ . En $t_a$ también se conocen como los generadores del álgebra de Lie. Obviamente, si se cambia la base, se obtiene un nuevo conjunto de generadores $t^{\prime}_a$ .

4) Una teoría gauge no abeliana tiene un campo gauge valorado en álgebra de Lie

$$A_{\mu}~=~\sum_a A_{\mu}^a t_a.$$

En el caso de la teoría electrodébil, los generadores del álgebra de Lie $t_a$ son

$$(T_1,T_2,T_3,Y_W),$$

donde $(T_1,T_2,T_3)$ son los generadores de $su(2)$ . En este sentido, la hipercarga débil $Y_W$ desempeña un doble papel en el modelo GSW:

1. En primer lugar, $Y_W$ es un generador de álgebra de Lie para la $u(1)$ Subálgebra de Lie. En una representación irreducible $\rho: u(1)\to {\rm Mat}_{1 \times 1}(\mathbb{C})$ del álgebra de Lie $u(1)$ se convierte en $1 \times 1$ matriz, por ejemplo,
   $$\rho(Y_W)~=~-1/2.$$ A menudo, los autores no se molestan en mencionar el mapa de representación $\rho$ explícitamente.

2. En segundo lugar, $Y_W$ describe un tipo especial de carga física, denominada hipercarga débil que depende del tipo de partícula elemental.

Mientras no se cambie de base y se mantenga la misma normalización (véase el punto 2), estos dos papeles duales son totalmente coherentes.

Answer 2

La hipercarga en el modelo electrodébil está completamente determinada por la carga eléctrica de las partículas observadas. En una normalización habitual, la de Peskin-Schroder, es simplemente la carga eléctrica media de todas las partículas contenidas en una representación SU(2) débil. La representación SU(2) débil está definida por las partículas que pueden transformarse unas en otras mediante interacciones débiles, de modo que el electrón (zurdo) y el neutrino se asocian.

Las representaciones SU(2) débiles son como el espín: tienen un estado de cada valor de "L_z", llamado I_z, que va de -m a m. A efectos de esta discusión, supongamos que tenemos una partícula SU(2) débil de espín 2,5, con hipercarga "Y". Entonces los valores reales de la carga eléctrica de las partículas serán

-2,5 + Y, -1,5+Y , -,5 + Y , .5 + Y , 1,5 + Y, 2,5 + Y

Y es el desplazamiento de la carga eléctrica, y el valor del espín SU(2) define el rango. Los pasos son siempre de una unidad. Este es el significado de la fórmula

$$ Q = I_z + Y $$

Para los socios débiles observados, el electrón-neutrino y el electrón, las cargas son 0,-1, por lo que la hipercarga es el valor medio, o -1/2. Para los compañeros débiles up-quark,down-quark las cargas son 2/3,-1/3, por lo que la hipercarga es la media de las dos: 1/6.

Pero sólo las partes zurdas del electrón y los quarks son socios SU(2). Las partes diestras no tienen pareja. Las partes diestras tienen una Y que no es más que su carga eléctrica. El electrón diestro tiene una Y de -1, el quark diestro up Y=2/3, y el quark diestro down Y=-1/3. Eso es sólo para que tengan la misma carga eléctrica. Esto es sólo para que tengan la misma carga eléctrica que su compañero zurdo, de modo que puedan formar juntos una partícula cargada masiva.

Una normalización natural de la hipercarga no es la de Wikipedia ni la de Peskin Schroeder. Es en términos del mayor valor racional para el cual todas las partículas del modelo estándar tienen hipercargas enteras. Este valor es 1/6. En términos de múltiplos de 1/6, todas las partículas del modelo estándar tienen una hipercarga de 1,2,3,4 y 6 unidades.

Pero esto supone que el U(1) de la hipercarga, con sus valores disparatados, es fundamental, lo cual es extremadamente improbable. La opción de normalización más natural es incrustar SU(2) y SU(3) en SU(5) (o en una GUT superior del mismo tipo, como SO(10) o E6). En esta incrustación, se piensa en SU(5) como una matriz de 5 por 5, el bloque superior de 2 por 2 es SU(2), el bloque inferior de 3 por 3 es SU(3), y la U(1) consiste en todas las matrices de fase diagonales (a,a,b,b,b) donde a^2b^3=1, de modo que esta fase se genera mediante

$\mathrm{diag}(1/2, 1/2, -1/3, -1/3, -1/3) $

Lo que significa que si se rota por la matriz diagonal con $(e^{i\theta/2},e^{i\theta/2}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3}, e^{-i\theta/3})$ en la diagonal, todavía estás en SU(5), pero no estás en SU(2)xSU(3).

La materia es la representación definitoria de SU(5), más la representación antisimétrica de dos tensores. La descomposición de estas dos representaciones explica las asignaciones de hipercarga del modelo estándar de forma fácil y natural. Véase esta respuesta: ¿Existe una exposición concisa pero completa del Modelo Estándar?

Answer 3

La respuesta corta sobre el factor 1/2 es que al final $e_L$ debe cobrar $-e$ mientras que $\nu_L$ debe tener una carga de cero.

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) = \left[-\frac{g}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right)\sin\theta_w ~~+ y\frac{g'}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\cos\theta_w\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Donde el primer término del lado derecho es la contribución del tercer componente ( $\sigma^z$ ) del campo SU(2) y el segundo término proviene de la hipercarga asociada al campo U(1). La mezcla de ambos viene determinada por el ángulo de Weinberg $\theta_w$

Por otra parte, para la carga eléctrica de $e_R$ tenemos

$-e\left(e_R\right) = y\,g'\cos\theta_w(e_R)$

Así que $e_L$ sólo tiene la mitad de hipercarga que $e_R$ porque obtiene la otra mitad de su carga eléctrica de su mezcla con la tercera componente del campo SU(2). La solución para ambos viene dada, por supuesto, por:

$g=\frac{-e}{\sin\theta_w}, ~~~~ g'=\frac{-e}{cos\theta_w}$

(Usando la notación de signos de Weinberg) que simplifica la primera ecuación a:

$-e\left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right) = \left[\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \right) ~~- y\frac{e}{2}\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)\right]\left( \begin{array}{c} \nu_L \\ e_L \end{array} \right)$

Esto muestra claramente que obtiene 1/2 de la carga eléctrica de la hipercarga del campo U(1) y la mitad de la carga eléctrica de la tercera componente del campo SU(2).

Saludos, Hans