Estoy leyendo la entrada de Wikipedia sobre Flujo y no queda clara la distinción entre solución de una EDO y el flujo de una EDO. En concreto está escrito claramente $(x_0,t) = x(t)$ Entonces, ¿para qué sirve definir el flujo?
https://en.wikipedia.org/wiki/Flow_(matemáticas)
¿Podría alguien explicar de forma concisa la diferencia entre ambos conceptos y aportar algunos ejemplos que muestren sus diferencias?
Muchas gracias
La respuesta es sencilla:
De hecho, si sólo se consideran las ecuaciones diferenciales autónomas, el concepto de flujo (local) no tiene nada que añadir, aunque como siempre es un punto de vista adicional ayuda a comprender o quizás incluso a encontrar propiedades que de otro modo podrían pasarse por alto.
La respuesta no es tan sencilla:
Sin embargo, también ocurre que el concepto de flujo es mucho más general y no tiene por qué estar relacionado con una ecuación diferencial. Puede asociarse, por ejemplo, a una ecuación diferencial estocástica, a una ecuación de retardo, a una ecuación diferencial parcial, o incluso asociarse al tiempo multidimensional, etc, etc.
Respuesta complicada pero más completa:
Dicho esto, puede parecer que el concepto de flujo es algo más general que el conjunto de soluciones de una ecuación diferencial. Esta tampoco es una buena perspectiva, ya que hay generalizaciones de una ecuación diferencial autónoma, incluso ecuaciones diferenciales generales no autónomas, que no conducen a conceptos obvios de flujos.
El truco de añadir $t'=1$ es claramente insatisfactoria en muchas situaciones (como cuando la compacidad es crucial), lo que lleva, por ejemplo, al estudio de los cascos convexos o de los ascensores en el contexto de la teoría ergódica (pero conduce siempre a sistemas de dimensión infinita).
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