Exactitud de colimits filtrados

Question

Se filtran colimits exacta en todos los abelian categorías?

En Conjunto, se filtra colimits conmuta con límites finitos. La prueba se traslada a las categorías suficientemente como Conjunto (es decir, donde se puede perseguir a los elementos de la ronda de diagramas), en particular Un Mod donde a es un anillo conmutativo. Esto implica que filtra colimits son exactas en A-Mod.

Soy consciente de un vago principio de que las cosas que son verdaderas en A-Mod son verdaderas para todos los abelian categorías, pero nunca he visto una declaración precisa de este principio, así que no estoy seguro de si se aplica en este caso.

Answer 1

He aquí un tonto contraejemplo. Si C es un abelian categoría, por lo que se C^op. En C^op, filtrada colimits se filtran los límites en C. Y, por supuesto, hay muchos ejemplos de abelian categorías (tales como abelian grupos) donde se filtran los límites no son exactos.

Por supuesto, tu pregunta es realmente: cuando es un abelian de categoría C, lo suficientemente cerca para Establecer, de manera que podamos apretar el hecho de que el filtrado colimits son exactas en Conjunto a una prueba para C.

Cualquier categoría de gavillas de abelian grupos en un espacio (o en un topos de Grothendieck) se han exacta filtrada colimits, por ejemplo.

Answer 2

Un contraejemplo que no es trivial es dada en el Capítulo 6 de Neeman el libro de Categorías Trianguladas. De la categoría en cuestión es la subcategoría de aditivo functors Gato(S^{op}, Ab) donde S satisface las hipótesis de algunos (por ejemplo, es básicamente un pequeño triangular categoría) y tomamos los functors que son producto de preservar para las pequeñas suficiente de los productos (así como contravariante functors S-> Ab enviar suficientemente pequeño co-productos a los productos). Esta categoría es completa y cocomplete pero no tiene ni exacta filtrada límites exactos o filtrada colimits. Más precisamente, se cumple [AB4] y [AB4*] pero ni [AB5] ni [AB5*].