La categoría de objetos de grupos abelianos

Question

Sea $C$ sea una categoría, digamos con productos finitos. ¿Qué se puede decir de la categoría $\operatorname{Ab}(C)$ de objetos de grupos abelianos de $C$ ? ¿Es siempre una categoría abeliana? Si no es así, ¿qué suposiciones sobre $C$ ¿hay que hacer? ¿Qué ocurre cuando $C$ es la categoría de los esquemas geométricos integrales propios lisos sobre algún esquema localmente noetheriano $S$ ?

Por ejemplo, si $C=\mathrm{Set}$ obtenemos, por supuesto, la categoría abeliana de grupos abelianos. Si $C=\mathrm{Ring}/R$ para algún anillo $R$ entonces obtenemos la categoría abeliana $\operatorname{Mod}(R)$ (cf. nLab ). En general, ya tengo problemas para demostrar que $\operatorname{Hom}(A,B) \times \operatorname{Hom}(B,C) \to \operatorname{Hom}(A,C)$ es lineal en la coordenada izquierda si $A$ , $B$ , $C$ son objetos de grupos abelianos.

Answer 1

No, falla mucho en general. Un ejemplo sencillo podría ser $C = Top$ : los grupos abelianos topológicos no forman una categoría abeliana. Por ejemplo, esta categoría no es equilibrada.

En general, se necesitarán algunos supuestos de exactitud sobre $C$ ; Tendré que comprobarlo detenidamente más tarde (ahora tengo que correr), pero creo que Barr-exacta de $C$ (regular, y las relaciones de equivalencia son pares de núcleos de sus coigualadores) puede estar cerca de un supuesto ideal.

Answer 2

Los objetos del grupo abeliano en cualquier topos elemental forman una categoría abeliana, véase "Topos Theory" de P.T. Johnstone, Teorema 8.11 (página 259).

Answer 3

Es $\mathscr{C}$ es regular/(exacta en el sentido de Barr) entonces para cualquier teoría algérica $T$ la categoría $T{\operatorname{-Alg}}(\mathscr{C})$ de interior $T$ -es regular/(exacta), en particular para $\mathscr{C}$ exacta y $\operatorname{Ab} ={}$ "teoría de grupos conmutativos" tenemos $\operatorname{Ab}(\mathscr{C})$ es exacta, también es aditiva (es decir, abeliana, una categoría es abeliana si es aditiva y exacta):

dado $f, g: A\to B$ en $\operatorname{Ab}(\mathscr{C})$ consiga $f+g$ de cualquiera de las dos formas siguientes:

1. aplicar la valoración de Yoneda $h^X$ , $X\in \mathscr{C}$ a $f, g: A\to B$ (y considerando el Lemma de Yoneda).

2. $f+g: A \xrightarrow{(f, g)} B\times B \xrightarrow{+}B$

Answer 4

$\DeclareMathOperator\Ab{Ab}\DeclareMathOperator\Hom{Hom}$ Si $C$ es cualquier categoría aditiva entonces cada objeto tiene una estructura única como objeto de grupo abeliano por lo que $\Ab(C)=C$ pero normalmente $C$ no es abeliano. Por ejemplo, esto se aplica a la categoría de grupos abelianos libres. También se puede pensar en las categorías trianguladas, que no suelen ser abelianas, aunque un bonito teorema de Freyd da una incrustación canónica en una categoría abeliana. Un ejemplo muy estudiado es la categoría de espectros en el sentido de la teoría de homotopía estable. Del mismo modo, se pueden considerar objetos de grupos abelianos en la categoría de homotopía de espacios, también conocida como espacios H conmutativos.

La pregunta también dice:

En general, ya tengo problemas para demostrar que $\Hom(A,B)\times \Hom(B,C)\to \Hom(A,C)$ es lineal en la coordenada izquierda

¿Seguro que esto es formal? He dibujado el diagrama pero lamentablemente no consigo que MathJax lo muestre.

Actualización:

Para que quede clara la notación, escribiré $\mathcal{C}(X,Y)$ para conjuntos de morfismos en $\mathcal{C}$ y $\Hom(A,B)$ para conjuntos de morfismos en $Ab(\mathcal{C})$ . Un objeto $A\in \Ab(\mathcal{C})$ tiene una estructura de grupo abeliano natural en $\mathcal{C}(T,A)$ para todos $T\in\mathcal{C}$ . Naturalidad significa que $q\circ p+r\circ p=(q+r)\circ p$ para todos $p:S\to T$ y $q,r:T\to A$ . Ahora dejemos que $B$ sea otro objeto de $\Ab(\mathcal{C})$ . Un morfismo en $\Ab(\mathcal{C})$ de $A$ a $B$ no es más que un morfismo $f:A\to B$ en $\mathcal{C}$ con la propiedad de que $f\circ(p+q)=f\circ p+f\circ q$ para todos $T$ y todos $p,q\in\mathcal{C}(T,A)$ . Supongamos ahora que tenemos morfismos tales $f,g:A\to B$ y $h,k\:B\to C$ . Entonces tenemos

\begin{multline*} (f+g)\circ(p+q) = f\circ(p+q) + g\circ(p+q) = f\circ p + g\circ p + f\circ q + g\circ q ={} \\ (f+g)\circ p + (f+g)\circ q \end{multline*}

(utilizando la naturalidad de la adición, la propiedad de homomorfismo de $f$ y $g$ y luego la naturalidad de nuevo). Esto demuestra que $f+g$ es de nuevo un homomorfismo. Un argumento similar muestra que $h\circ f$ , $h\circ g$ y $h\circ(f+g)$ son homomorfismos. Tenemos $h\circ(f+g)=h\circ f+h\circ g$ por la propiedad de homomorfismo de $h$ . También disponemos de $(h+k)\circ f=h\circ f+k\circ f$ por la naturalidad de la adición.

Answer 5

No estoy seguro de por qué esto no se ha mencionado todavía, pero la categoría de objetos de grupos abelianos en esquemas geométricos integrales propios lisos no es abeliana, ya si $S = \operatorname{Spec} k$ . En efecto, si $A$ es cualquier variedad abeliana, entonces el mapa $[n] \colon A \to A$ para $n > 1$ es un monomorfismo y un epimorfismo:

• Como explicó el OP en ¿Qué son los epimorfismos en la categoría de esquemas? es un epimorfismo de esquemas ya que es suryectivo en puntos e inyectivo en secciones (siendo un morfismo dominante de esquemas integrales). Por tanto, también es un epimorfismo de esquemas de grupo.
• Si $f \colon G \to A$ es un mapa tal que $G \to A \stackrel{[n]}\to A$ es trivial, entonces $f(G)$ tierras en $A[n]$ teóricamente. Pero si $G$ es geométricamente integral, esto implica $f(G)$ cae en el subgrupo trivial $\boldsymbol 1$ de nuevo esquema-teóricamente.

Así, $[n] \colon A \to A$ es a la vez un monomorfismo y un epimorfismo, pero es evidente que no tiene inversa (ni siquiera como esquemas) cuando $n > 1$ .

Eliminar "geométricamente integral" no ayuda: si $\operatorname{char} k = p > 0$ y $A$ es supersingular, el mismo ejemplo con $n = p$ muestra que mirar suave esquemas de grupos abelianos no es suficiente. La eliminación de ambos funciona si además se imponen hipótesis de tipo finito: la categoría de esquemas de grupos abelianos de tipo finito sobre un campo $k$ es abeliano; véase ¿Es abeliana la categoría de esquemas de grupos conmutativos? y sus referencias. Entonces los propios forman una subcategoría de Serre, por tanto una categoría abeliana.

Sería interesante ver qué versiones son ciertas sobre una base general. Me parece difícil hacer cocientes si no hay supuestos de planitud, pero tal vez los núcleos o cokernels de esquemas de grupos planos no quieren ser planos. Probablemente debería intentar leer algo de SGA3 .