Si $f(x_1,\ldots,x_n)/g(x_1,\ldots,x_n) \in F(x_1,\ldots,x_n)$ es simétrica, entonces tanto $f$ y $g$ son simétricos

Question

Sea $F$ sea un campo y $f(x_1,\ldots,x_n), g(x_1,\ldots,x_n) \in F[x_1,\ldots, x_n]$ . Supongamos que $h(x_1,\ldots,x_n):=f(x_1,\ldots,x_n)/g(x_1,\ldots, x_n)$ es simétrica, en el sentido de que para cada $\sigma \in S_n$ , $\Phi(\sigma)(h) = h$ donde $\Phi(\sigma)$ es el único automorfismo de $F(x_1,\ldots,x_n)$ que amplía el automorfismo $\phi(\sigma)$ de $F[x_1,\ldots,x_n]$ que fija $F$ y envía $x_i$ a $x_{\sigma(i)}$ . Supongamos además que $f$ y $g$ no tienen un factor común.

Cómo demostrar que ambos $f$ y $g$ ¿son simétricos? Lo he intentado con todas mis fuerzas pero no se me ocurre ninguna idea.

Answer 1

CONSEJO:Si $f/g$ está en los términos más bajos y $\frac{\sigma f}{\sigma g} = \frac{f}{g}$ para todos $\sigma$ entonces $\sigma g$ divisible por $g$ para todos $\sigma$ . Tomando $\sigma \mapsto \sigma^{-1}$ obtenemos que $\sigma g = \epsilon_{\sigma} g$ para todos $\sigma$ donde $\sigma \mapsto \epsilon_{\sigma}$ es un ( $1$ -) carácter de $S_n$ . Si $\epsilon_{\sigma} \equiv 1$ entonces $g$ simétrico, hecho. Si no, $\epsilon_{\sigma}$ es la firma. Pero entonces $g$ es sesgada-simétrica, y entonces, necesariamente, $f$ también es simétrico oblicuo (ya que su cociente es simétrico). Pero todo polinomio de simetría oblicua es divisible por $\delta=\prod_{i< j}(x_i - x_j)$ y, por tanto $f$ , $g$ no son relativamente primos, contradicción.

Obs: Puede ser conveniente producir polinomio simétrico explícito como cociente $\frac{f}{\delta}$ con $f$ sesgado-simétrico, $\delta$ como arriba, ( ver funciones de Schur), aunque la fracción claramente no está en términos más bajos.