¿Cuándo se puede invertir la orientación de un colector complejo y seguir obteniendo un colector complejo?

Question

Me han dicho que $\overline{\mathbb{C}P^2}$ es decir $\mathbb{C}P^2$ con orientación inversa, no es un colector complejo. Pero por ejemplo, $\overline{\mathbb{C}}$ sigue siendo una variedad compleja y biholomorfa a $\mathbb{C}$ .

Esto me hace preguntarme, si $X$ es un múltiple complejo ¿existe un criterio general para saber cuándo $\overline{X}$ también tiene una estructura compleja? Por ejemplo, parece que si $X$ es una variedad afín que sustituir simplemente $i$ con $-i$ da $\overline{X}$ una estructura compleja y $X, \overline{X}$ son biholomorfas.

EDITAR la última afirmación es errónea; véanse los comentarios de BCnrd más abajo y el ejemplo de Dmitri. Además, como explican Dmitri y BCnrd, $X$ debe considerarse que tiene una dimensión incluso compleja.

Otra pregunta: si $X$ y $\overline{X}$ ambos tienen estructuras complejas, ¿son necesariamente biholomorfos? Editar : No, según la respuesta de Dmitri más abajo.

Answer 1

Si se toma una variedad compleja dimensional impar $X$ con estructura holomórfica $J$ entonces $-J$ define en $X$ una estructura holomórfica también. Y, por supuesto, $J$ y $-J$ inducir $X$ orientaciones opuestas. En general, no es cierto que estas dos variedades complejas sean biholomorfas. En efecto, si $X$ es una curva compleja, entonces $(X,J)$ es biholomorfo a $(X,-J)$ sólo si $X$ admite una involución antiholomorfa (éste será el caso, por ejemplo, si $X$ viene dada por una ecuación con coeficientes reales).

A partir de este ejemplo podemos construir una variedad afín (singular) $Y$ de dimensión $3$ tal que $(Y,J)$ no es biholomorfo a $(Y,-J)$ . A saber $C$ sea una curva compleja compacta que no admite una involución antiholomorfa digamos de género $g=2$ . Consideremos el haz de rango dos sobre él, igual a la suma $TC\oplus TC$ ( $TC$ es el haz tangente a $C$ ). Contrayendo la sección cero del espacio total de este haz, se obtiene el singular deseado $Y$ .

Answer 2

Me parece que podría interesarte lo siguiente (no he revisado el artículo en detalle, pero creo que teoremas de este "estilo" podrían serte útiles):

• Dieter Kotschick, Orientaciones y geometrías de superficies complejas compactas (Toro. London Math. Soc. 29 (1997), nº 2, 145-149. Zbl 0896.32014 )

Teorema Sea $X$ sea una superficie compleja compacta que admite una estructura compleja para $\bar{X}$ . Entonces $X$ (y $\bar{X}$ ) cumple una de las siguientes condiciones:

1. $X$ se rige geométricamente, o
2. los números de Chern $c_1^2$ y $c_2$ de $X$ desaparecer, o
3. $X$ está uniformizado por el polidisco.

En particular, la firma de $X$ desaparece.

Otro material que podría ser útil es:

• Dieter Kotschick, Homeomorfismos de inversión de orientación en superficie geografía (Matemáticas. Ann. 292 (1992), nº 2, 375-381. Zbl 0753.14034 )
• Arnaud Beauville, Superficies complejas y orientación (Astérisque 126 (1985), 41-43. Zbl 0574.14032 )