Como se ha mencionado en la respuesta anterior, aún podemos utilizar la teoría de perturbaciones para sistemas de muchos cuerpos. Me gustaría dar un ejemplo concreto. En general, el Hamiltoniano de un sistema de Fermiones interactuantes puede estar dado por $$H=H_0+H'=\sum_{\mu\nu}\langle\mu|\hat{h}|\nu\rangle c^{\dagger}_\mu c_\nu+\frac{1}{2}\sum_{\mu \nu \alpha \beta}\langle\mu \nu|\hat{V}|\alpha \beta \rangle c^{\dagger}_\mu c^{\dagger}_{\nu} c_\beta c_\alpha $$ Si el término de interacción es lo suficientemente débil, podemos tratarlo como una perturbación y aplicar la teoría de perturbaciones de primer orden al término de interacción, es decir, la corrección energética de primer orden viene dada por $\langle H'\rangle=\langle \Omega_0|H'|\Omega_0\rangle$ donde $|\Omega_0\rangle$ es el estado fundamental de muchos cuerpos sin interacción (que es sólo un mar de Fermi lleno hasta la superficie de Fermi). Ahora el problema es calcular $\langle \Omega_0|c^{\dagger}_\mu c^{\dagger}_{\nu} c_\beta c_\alpha|\Omega_0\rangle$ . Nótese que para que este elemento de la matriz sea distinto de cero, $\alpha \neq \beta$ . Además, deberíamos tener $\alpha=\nu$ y $\beta=\mu$ o $\alpha=\mu$ y $\beta=\nu$ . Entonces obtenemos $$\langle \Omega_0|c^{\dagger}_\mu c^{\dagger}_{\nu} c_\beta c_\alpha|\Omega_0\rangle=(\delta_{\alpha \mu}\delta_{\beta \nu}-\delta_{\alpha \nu}\delta_{\beta \mu})n_\alpha n_\beta$$ . El signo menos procede de la regla de anticonmutación de los fermiones. Sustituyendo esto en $\langle H' \rangle$ obtenemos $$\langle H' \rangle = \frac{1}{2}\sum_{\mu \nu \alpha \beta}\langle\mu \nu|\hat{V}|\alpha \beta \rangle (\delta_{\alpha \mu}\delta_{\beta \nu}-\delta_{\alpha \nu}\delta_{\beta \mu})n_\alpha n_\beta = \frac{1}{2}\sum_{\mu \nu}(\langle\mu \nu|\hat{V}|\mu \nu \rangle -\langle\mu \nu|\hat{V}|\nu \mu \rangle)n_\mu n_\nu$$ Obsérvese que la perturbación de primer orden corresponde aquí a la aproximación Hartree-Fock, siendo el primer término el término Hartree y el segundo término el término Fock.
