Hallar el número de grupos abelianos de orden $27$ ?

Question

Intentaba resolver el siguiente problema:

Hallar el número de grupos abelianos de orden $27$ ?

¿Podría alguien indicarme la dirección correcta?

Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

$27 = 3^3\;$ y $\;3\;$ es prime : So....

Sabemos por la _Teorema fundamental de los grupos abelianos de generación finita_ todos los grupos abelianos de orden $27$ son equivalentes a (isomorfos a) uno de los siguientes grupos:

$\mathbb{Z}_{27}$

$\mathbb{Z}_{3}\times \mathbb{Z}_9$

$\mathbb{Z}_{3}\times \mathbb{Z}_3 \times \mathbb{Z}_3$ .

Estos grupos NO son isomorfos. ¿Por qué?

Existen ninguna otra distinta (hasta isomorfismo) grupos abelianos de orden $27$ . ¿Por qué no?

Answer 2

$27=3^3$ y lo hemos hecho:

$27=1\times 27$ $(1\mid 27)$ , $27=3\times 9$ $(3\mid9)$ o $27=3\times 3\times3$ $(3\mid3\mid3)$ por lo que según el teorema fundacional abeliano tenemos los siguientes grupos de orden $27$ respectivamente:

$$\Bbb{Z}_{27},\;\; \mathbb Z_3\times\mathbb Z_9,\;\; \mathbb Z_{3}\times\mathbb Z_3\times\mathbb Z_3$$

Otras formas de producto directo son isomorfas entre sí. Por ejemplo, $$\mathbb Z_3\times\mathbb Z_9\cong\mathbb Z_9\times\mathbb Z_3$$ Tenga en cuenta que $A\times B$ en el que $A$ y $B$ son grupos es abeliano si $A$ y $B$ son abelianos.