Eventos de cola y eventos canjeables

Question

En este problema tengo $X_1, X_2, \cdots$ RV independientes idénticamente distribuidos que toman valores $\pm1$ con la misma probabilidad de $1/2$ y mi trayectoria está definida por $S_n=\sum_i^n X_i$ (más o menos como un experimento de lanzar una moneda al aire).

Estoy tratando de demostrar que ciertos eventos son eventos de cola, eventos intercambiables o ambos, pero tengo algunas preguntas acerca de estos eventos.

La definición del álgebra sigma de cola es $T=\bigcap_{n\geq 1}\bigcup_{k=n}^\infty \mathcal{F_k}$ y $\mathcal{F_n}$ son una secuencia de $\sigma$ -en $\Omega$ . Creo que $\Omega$ aquí sería la unión de todos $n$ -secuencias de $\pm 1$ ? es decir $\Omega=\{1\},\{0\},\{11\},\{10\},\cdots$

Entonces, ¿cómo son exactamente los $\mathcal{F}_n$ $\sigma$ -¿álgebras indexadas? Pensé que podría estar relacionado con $n$ en $S_n$ y que $\mathcal{F}_n$ es el $\sigma$ -generada por todas las trayectorias posibles de la $n$ -trayectoria, es decir $\mathcal{F_1}=\{\varnothing,\{1\},\{0\},\{1,0\}\}$

No estoy seguro de que esto tenga sentido, porque hay una distinción entre el conjunto $\Omega$ y el conjunto, por ejemplo en $\mathcal{F_1}$ , $\{0,1\}$

Answer 1

Pruebe $\Omega=\{0,1\}^{\mathbb N}$ , $\mathcal F_n=\{A\times\{0,1\}^{\{n+1,n+2,\ldots\}}\mid A\subseteq\{0,1\}^n\}$ y $X_n(\omega)=\omega_n$ para cada $n\geqslant0$ .

Así, $\Omega$ es el conjunto de todos los infinitos $\{0,1\}$ -y no la unión en $n\geqslant0$ de los conjuntos de $\{0,1\}$ -de longitud $n$ .

Edita: Una caracterización alternativa de $\mathcal F_n$ es que $B\subseteq\Omega$ está en $\mathcal F_n$ si y sólo si la propiedad $P_n(B)$ retenciones:

$P_n(B):$ Sea $\omega=(\omega_k)_{k\in\mathbb N}$ y $\omega'=(\omega'_k)_{k\in\mathbb N}$ denotan dos elementos de $\Omega$ . Si $\omega$ está en $B$ y si $\omega'_k=\omega_k$ para cada $1\leqslant k\leqslant n$ entonces $\omega'$ está en $B$ .

Tenga en cuenta que cada $\mathcal F_n$ contiene $\varnothing$ desde $\varnothing=\varnothing\times\{0,1\}^{\{n+1,n+2,\ldots\}}$ y $\varnothing\subseteq\{0,1\}^n$ y que cada $\mathcal F_n$ contiene $\Omega$ desde $\Omega=\{0,1\}^n\times\{0,1\}^{\{n+1,n+2,\ldots\}}$ y $\{0,1\}^n\subseteq\{0,1\}^n$ . Además, para cada $n$ , $B_n=\{0\}^n\times\{0,1\}^{\{n+1,n+2,\ldots\}}$ está en $\mathcal F_k$ sólo si $n\leqslant k$ . Una formulación equivalente del conjunto $B_n$ es que $B_n=\bigcap\limits_{i=1}^n[X_i=0]$ .

Editar: Lo anterior corresponde a la descripción de la secuencia $(\mathcal F_n)_n$ en el puesto. Sin embargo, en el contexto de las álgebras sigma de cola, una opción más natural sería $\mathcal F_n$ la sigma-alebra generada por $X_n$ solo (no por cada $X_k$ con $k\leqslant n$ como arriba). A continuación, $B\subseteq\Omega$ está en $\mathcal F_n$ si y sólo si la propiedad $Q_n(B)$ retenciones:

$Q_n(B):$ Sea $\omega=(\omega_k)_{k\in\mathbb N}$ y $\omega'=(\omega'_k)_{k\in\mathbb N}$ denotan dos elementos de $\Omega$ . Si $\omega$ está en $B$ y si $\omega'_n=\omega_n$ entonces $\omega'$ está en $B$ .

Entonces la sigma-álgebra de cola $\mathcal T=\bigcap\limits_n\bigcup\limits_{k\geqslant n}\mathcal F_k$ contiene eventos como $[X_n=1\ \text{for infinitely many}\ n]$ o $[S_n/n\to c]$ para cada $c$ (las pruebas no son que difícil, pero debería demostrarse), y un resultado poderoso en este dominio es la llamada ley cero-uno de Kolmogorov, que afirma que, si la secuencia $(\mathcal F_n)$ es independiente, entonces $\mathcal T$ contiene sucesos de probabilidad $0$ o $1$ sólo.