Quiero dar un ejemplo de una extensión de campo finito no separable y no normal. Así que tengo que encontrar una extensión de un campo, que no es perfecto. Sugiero $K=\mathbb{F}_2(t)$ . Una extensión, que podría funcionar es $L=\mathbb{F}_2(t)[X]/(X^6-t)$ . Ya sé, que $L/K$ es finito y que no es separable. Pero no puedo demostrar que no es normal. Si supongo que el polinomio $Z^6-t$ factores en $L[Z]$ entonces puedo demostrar que todas las raíces sextas de la unidad están en $L$ . Pero no puedo obtener una contradicción de esto.
Respuesta
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Utilizando su ejemplo $K = \mathbb{F}_2(t), L = \mathbb{F}_2(t^{1/6})$ . Considere la ecuación $$x^3 - t = 0$$ entonces tiene una raíz en $L$ a saber $t^{1/3}$ . Entonces todas las raíces de esta ecuación serán $t^{1/3}, \zeta t^{1/3}, \zeta^2 t^{1/3}$ donde $\zeta$ es una raíz tercera primitiva de la unidad. Si $\zeta t^{1/3} \in L$ debemos tener $\zeta \in \mathbb{F}_2$ Sin embargo $\mathbb{F}_2$ no tiene una tercera raíz primitiva de unidad.
Por lo tanto $x^3-t = 0$ no tiene toda su raíz en $L$ Obsérvese también que $x^3-t$ es irreducible sobre $K[x]$ . Esto muestra la extensión $L/K$ no es normal.
