El teorema de la correspondencia para grupos

Question

Había estudiado la teoría de grupos hace un año, pero aún no podía entender la prueba que implicaba El teorema de la correspondencia.

deja $G$ ser un grupo y dejar $N⊴G$ donde $N⊴G$ indica que $N$ es un subgrupo normal de $G$ . Luego hay una bendición del conjunto de subgrupos $A$ de $G$ que contienen $N$ en el conjunto de subgrupos $ \overline A $ = $A/N$ de $G/N.$

¿Alguien puede explicarme los pasos en:

$(1.)$ de una manera muy fácil para que yo entienda la importancia de cada paso.

$(2.)$ No requiero la prueba, sino sólo la forma en que los pasos se suceden.

Estaré agradecido si hay alguien lo suficientemente amable para hacer esto...

Answer 1

Ok, aquí vamos...

Dejemos que $Sub(G,N)$ denotan los subgrupos de $G$ que contiene $N$ y $Sub(G/N)$ denotan los subgrupos de $G/N$

$\textbf{STEP 1-}$ Considere $\Phi$ : $Sub(G,N) \to$ $Sub(G/N)$ que envía $H$ en $Sub(G,N)$ a $H/N$ en $Sub(G/N)$ . nos gustaría demostrar que se trata de una biyección.

$\textbf{Injectivity-}$ Dejemos que $H_1$ y $H_2$ $\in$ Sub(G,N) tal que $H_1 \neq H_2$ entonces existe un elemento $x \in H_1$ pero no en $H_2$ (WLG), así $H_1/N \neq H_2/N$ y, por tanto, inyectiva.

$\textbf{Surjectivity-}$ Dejemos que $A$ sea cualquier subgrupo de $G/N$ entonces $A$ tendrá cosets como sus elementos, por lo que considera $S$ ={ $g \in G: gN \in A$ }. Entonces, mediante una prueba de subgrupo de un paso, se puede comprobar $S$ es un subgrupo de $G$ y obviamente $N \subseteq S$ entonces considere $\Phi(S)$ . Es $A$ . Y por lo tanto $\Phi$ también está en.

Y así $\Phi$ es una biyección.

También hay correspondencia entre los subgrupos normales de $G/N$ y subgrupos normales de $G$ que contiene $N$ Para ello, debe demostrar que $\Phi$ preserva la normalidad, es decir, si $H_1$ , $H_2$ $\in$ $Sub(G,N)$ tal que $H_1 \unlhd H_2$ entonces $\Phi(H_1)\unlhd \Phi(H_2)$ . Si tienes más interés en esto, pruébalo, y si no lo consigues, coméntalo aquí, lo editaré y lo subiré en la misma respuesta.

Gracias. Espero que sea de ayuda.

Answer 2

Tal vez sea más claro si se considera el escenario (aparentemente) más general:

Dejemos que $\phi: G \to G'$ sea un homomorfismo de grupos. Entonces $\phi$ induce dos mapas en los conjuntos $ \Gamma$ y $\Gamma'$ de subgrupos de $G$ y $G'$ respectivamente.

$\phi_* : \Gamma \to \Gamma'$ dado por $\phi_*(H)=\phi(H)$

$\phi^* : \Gamma' \to \Gamma$ dado por $\phi^*(H')=\phi^{-1}(H')$

Estos mapas conservan las inclusiones, pero no son inversos entre sí porque $\phi_*(H)$ es siempre un subgrupo de la imagen de $\phi$ y $\phi^*(H')$ siempre contiene el núcleo de $\phi$ .

Sin embargo, cuando se restringe al conjunto de subgrupos de $G$ que contienen el núcleo de $\phi$ y el conjunto de subgrupos de $G'$ que están contenidas en la imagen de $\phi$ , entonces estos mapas son la inversa de cada uno. Este es el teorema de la correspondencia.

De manera más general, $\phi_*\phi^*(H') = H' \cap \mbox{im}\ \phi$ y $\phi^*\phi_*(H) = \langle H, \ker \phi \rangle$ el subgrupo más pequeño de $G$ que contiene $H$ y $\ker \phi$ esto resulta ser $ H \ker \phi$ .

Answer 3

Necesitamos encontrar alguna función que mapee los subgrupos de $G$ que contiene $N$ a los subgrupos de $G/N$ . Como estamos comparando $G$ y $G/N$ hay un homomorfismo que debería saltar inmediatamente a la mente.

Consideremos el mapa cociente $$\pi: G \to G/N\\g \mapsto gN$$ que está bien definido como $N$ es normal.

Al considerar los subgrupos normales y los grupos cocientes, éste es el primer homomorfismo en el que se debe pensar. Es la forma más natural de pasar de $G$ a $G/N$ .

La idea de la prueba es mostrar que este mapa tomará los subgrupos de $G$ que contiene $N$ a los subgrupos de $G/N$ .

El punto sutil que hará que esto funcione es que los homomorfismos y sus mapas inversos preservan subconjuntos - es decir, si $\theta$ es un homomorfismo y $H\subset G$ entonces $\theta(H) \subset \theta(G)$ .

Por lo tanto, si $A$ es un subgrupo que contiene $N$ entonces no sólo su imagen será un subgrupo de $G/N$ sino también el mapa inverso $\pi^{-1}$ tomando $A/N$ de nuevo en $G$ debe contener $\pi^{-1}(e) = N$ .

Lo concretaremos describiendo una biyección explícita.

Supongamos que $A<G$ es un subgrupo que contiene $N$ . Entonces la imagen $\pi(A)$ de $A$ bajo este mapa será un subgrupo de $G/N$ .

Definir una función (no un homomorfismo): $$f: \{\text{subgroups of $ G $ containing $ N $}\}\to \{\text{subgroups of $ G/N $}\}\\A \mapsto\pi(A)$$

Queremos demostrar que este mapa es una biyección. La forma más fácil de hacerlo es mostrar que tiene un mapa inverso $f^{-1}$ .

Definir un mapa: $$g:\{\text{subgroups of $ G/N $}\}\to \{\text{subgroups of $ G $ containing $ N $}\}\\A/N\mapsto\pi^{-1}(A/N)$$ donde $\pi^{-1}(A/N)=\{g \in G:\pi(g) \in A/N\}$ .

Queremos demostrar que este mapa es la inversa de $f$ pero primero tenemos que comprobar que está bien definida y que realmente toma subgrupos de $G/N$ a subgrupos de $G$ que contiene $N$

Si $A/N=B/N$ entonces $$\begin{align}g(A/N) &= \pi^{-1}(A/N) \\&=\{g \in G:\pi(g) \in A/N\}\\&=\{g \in G:\pi(g) \in B/N\} \text{ since $ A/N = B/N $}\\&=g(B/N)\end{align}$$ según sea necesario.

Supongamos ahora que $\overline A$ es un subgrupo de $G/N$ y considerar $A=g(\overline A)$ .

Queremos demostrar que $A$ es un subgrupo de $G$ que contiene $N$ .

Tenemos $g(\overline A) = \{g \in G:gN \in \overline A\}$ .

Desde $\pi(n) = e$ $\forall n \in N$ Ciertamente $N \subset g(\overline A)$ .

Desde $e \in N$ Ciertamente $e \in g(\overline A)$ .

Y si $g, h \in g(\overline A)$ entonces $gN, hN \in \overline A$ así que $ghN \in \overline A$ como $\overline A$ es un grupo, y por lo tanto $gh \in g(\overline A)$ .

Así que $g(\overline A)$ es un subgrupo de $G$ que contiene $N$ según sea necesario.

Terminamos demostrando que $f$ y $g$ son inversos entre sí, y por lo tanto que $f$ es la biyección requerida. Esto es más o menos inmediato porque la definición de $g$ es el mapa inverso de $f$ . La mayor parte del trabajo consistió en demostrar que $g$ está bien definida.

Dejemos que $A$ sea un subgrupo de $G$ que contiene $N$ . Entonces $$\begin{align}g\circ f(A) &= g\big(\{aN:a \in A\}\big)\\&=\{g \in G : gN = aN \text{ for some } a \in A\}\\&\supset A \end{align}$$

Hasta ahora sólo tenemos lo suficiente para decirnos que $A \subset g\circ f(A)$ . Para la igualdad, necesitamos el hecho de que $N \subset A$ .

Si $b \notin A$ y $bN = aN$ para algunos $a \in A$ entonces $ba^{-1}N = N$ Así que $ba^{-1} \in N$ .

Pero $N \subset A$ Así que $ba^{-1} \in A$ y por lo tanto $b \in A$ desde $A$ es un grupo - una contradicción.

Asimismo, $f \circ g(\overline A) = \overline A$