Grupos de orden 12 que no son isomorfos

Question

Pon ejemplos de cuatro grupos de orden 12 de los que dos no sean isomorfos.

Hasta ahora he pensado en $Z_{12}$ y $D_6$ .

Gracias.

Answer 1

Considere $\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_3$ y $A_4$ .

Answer 2

Pistas para que lo pruebes:

Los dos abelianos: $\;C_{12}\;,\;\;C_2\times C_6\cong C_2\times C_2\times C_3\;$ y ahora dos no abelianas que es fácil ver que no son isomorfas: $\;A_4\;,\;\;C_2\times S_3\;$

Answer 3

También hay $T=C_3\rtimes C_4$ ya que ${\rm Aut}\, C_3\simeq C_2$ es isomorfo a un subgrupo de $C_4$ . De hecho, los únicos grupos no abelianos de orden $12$ son $A_4$ , $D_{12}$ y $T$ .

Answer 4

Bien, este es mi razonamiento.

Toma $Z_{12}$ , $Z_2 x Z_2 x Z_3$ , $D_6$ y $A_4$ .

$Z_{12} \not\cong Z_2 x Z_2 x Z_3$ desde $Z_{12}$ es cíclico.

$Z_{12} \not\cong D_6$ desde $Z_{12}$ es cíclico.

$Z_{12} \not\cong A_4$ desde $Z_{12}$ es cíclico.

$D_6 \not\cong A_4$ desde $D_6$ tiene un elemento de orden $6$ .

$D_6 \not\cong Z_2 x Z_2 x Z_3$ desde $D_6$ es no abeliano y Z_2 x Z_2 x Z_3$ es un grupo abeliano

$A_4 \not\cong Z_2 x Z_2 x Z_3$ desde $A_4$ tiene elementos de orden $2$ .