Demuestra que no hay ningún número racional r tal que $2^r = 3$ . Me pregunto si mi prueba es correcta.
$\mathbf{Proof:}$ Proporcionaremos una prueba por contradicción. Supongamos que existe un número racional r tal que $2^r = 3$ . Esto significa por definición $r=\frac{p}{q}$$ \;$ $p,q\in\mathbb{Z}$ sin que p y q tengan factores comunes. Escribimos $2^{\frac{p}{q}}=3$ . Levante ambos lados hasta el $q^{th}$ poder para conseguir $2^p=3^q$ . Tenemos dos casos de los que ocuparnos, $\;r=0$ y $r\not = 0$ . Siendo el primer caso $\;r=0\;$ si $\;r = 0$ entonces p tiene que ser cero porque si q fuera cero entonces no podríamos completar la operación. Si $\;r = 0$ entonces tenemos que $1=3\;$ lo cual es una contradicción. Para $r \not= 0$ tenemos dos casos diferentes, $r>0$ y $r<0$ . Primero nos ocuparemos del $r>0$ caso. Si $r>0$ entonces $p,q>0$ y tenemos $2^p=3^q$ que dice que un número par es igual a un número impar lo cual es una contradicción. Por último, nos ocupamos de la $r<0$ caso. Si $r<0$ entonces $r=-\frac{p}{q}\; p,q\in\mathbb{Z}^+$ lo que implica $2^{-\frac{p}{q}}=3$$ \Flecha derecha $$\; \frac{1}{2^p}=3^q$$ \ flecha a la derecha; $$1=2^p3^q $ lo cual es una contradicción porque $\:6\leq2^p3^q\:$ y $6\not\leq 1$ .
Gracias a todos por la ayuda.
