Demuestra que no hay ningún número racional r tal que $2^r = 3$

Question

Demuestra que no hay ningún número racional r tal que $2^r = 3$ . Me pregunto si mi prueba es correcta.

$\mathbf{Proof:}$ Proporcionaremos una prueba por contradicción. Supongamos que existe un número racional r tal que $2^r = 3$ . Esto significa por definición $r=\frac{p}{q}$$\;$ $p,q\in\mathbb{Z}$ sin que p y q tengan factores comunes. Escribimos $2^{\frac{p}{q}}=3$ . Levante ambos lados hasta el $q^{th}$ poder para conseguir $2^p=3^q$ . Tenemos dos casos de los que ocuparnos, $\;r=0$ y $r\not = 0$ . Siendo el primer caso $\;r=0\;$ si $\;r = 0$ entonces p tiene que ser cero porque si q fuera cero entonces no podríamos completar la operación. Si $\;r = 0$ entonces tenemos que $1=3\;$ lo cual es una contradicción. Para $r \not= 0$ tenemos dos casos diferentes, $r>0$ y $r<0$ . Primero nos ocuparemos del $r>0$ caso. Si $r>0$ entonces $p,q>0$ y tenemos $2^p=3^q$ que dice que un número par es igual a un número impar lo cual es una contradicción. Por último, nos ocupamos de la $r<0$ caso. Si $r<0$ entonces $r=-\frac{p}{q}\; p,q\in\mathbb{Z}^+$ lo que implica $2^{-\frac{p}{q}}=3$$\Flecha derecha$$\; \frac{1}{2^p}=3^q$$\ flecha a la derecha;$$1=2^p3^q$ lo cual es una contradicción porque $\:6\leq2^p3^q\:$ y $6\not\leq 1$ .

Gracias a todos por la ayuda.

Answer 1

Debe tener en cuenta si $r < 0$ . Y hay que rehacer si $r = 0$ correctamente.

Si $r > 0$ entonces hay $p, q \in \mathbb Z^+$ donde $r =\frac pq$ y, aunque podemos afirmar $p, q$ no tienen factores comunes que no sean pertinentes o necesarios. Su argumento fue PERFECTO . $2^{\frac pq} =3 \implies 2^p = 3^q$ pero LHS es par y RHS es impar. Precioso ¡!

Si $r = 0$ lo estropeas un poco. Dices $2^0 = 3^q$ así que $3^q = 1$ es impar que.... no es una contradicción. Más concretamente: si $r = 0$ entonces $2^r = 2^0=1$ que.... no es igual a $3$ Eso es todo.

Y considerar $r < 0$ si $r < 0$ entonces hay $p,q \in \mathbb Z^+$ para que $r =-\frac pq$ así que $2^{-\frac pq} = \frac 1{2^{\frac pq}} = 3$ por lo que elevar ambos lados a la $q$ potencia y obtener $\frac 1{2^p} = 3^q$ y el LHS es menor que $1$ mientras que RHS es más de $1$ .

Answer 2

Hay varios errores lógicos en su argumento:

( $1$ ) $2^p=3^q$ no implica $3^q$ es múltiplo de $2$ . Debe considerar el caso $p=0$ y $p \neq0$ por separado.

( $2$ ) "En el caso de que $2^p$ es impar tenemos un número par siendo igual a un número impar lo que también es una contradicción"

Esta afirmación no es correcta. Cuando $p=0$ tenemos un número impar igual a un número impar. La falacia proviene de la suposición en ( $1$ )

Edición: como señala el comentario de Graham Kemp, también hay que demostrar el caso en que $p<0$ y $q>0$ que es trivial pero que es necesario enunciar.

Answer 3

Una respuesta directa $2^r=3 \implies r=\log_2 3 \notin Q$