¿Ventajas de trabajar con complejos/espacios CW frente a complejos/conjuntos simpliciales Kan?

Question

Muchos topólogos expresan una clara preferencia por trabajar con complejos CW en lugar de conjuntos simpliciales.

Una de las razones es que el complejo de cadenas celulares de un complejo CW suele ser más fácil de trabajar que un complejo de cadenas simplicial. Sin embargo, los conjuntos simpliciales tienen muchas características interesantes que los espacios no tienen. La categoría de conjuntos simpliciales tiene una estructura modelo propia y combinatoria (en el sentido de Jeff Smith) y es un topos presheaf, lo que hace que los objetos se comporten de forma muy parecida a los conjuntos. ¿Seguro que esto compensa los problemas que plantea la especificación de datos combinatorios?

La pregunta: ¿Por qué muchos topólogos y teóricos de la homotopía prefieren trabajar con espacios y complejos de CW sobre conjuntos simpliciales y complejos de Kan? ¿Qué otras ventajas tienen los complejos CW sobre los complejos Kan?

Answer 1

Creo que hay muchas ocasiones en las que los conjuntos simpliciales son preferibles (por ejemplo, para clasificar espacios la construcción simplicial suele ser ventajosa), pero para responder a la pregunta planteada:

• Los complejos CW se conectan de forma más inmediata con la teoría de los manifolds (las funciones de Morse dan estructuras CW; un complejo CW finito es homotópicamente equivalente a un manifold incrustándolo en algún espacio euclidiano y "engordándolo").
• Las estructuras de CW pueden ser más sencillas y explícitas en casos "pequeños". Por ejemplo, no conozco un conjunto simplicial explícito cuya realización sea $CP^2$ (aunque tal vez podría elaborar uno utilizando un modelo simplicial para el mapa de Hopf. )
• Los complejos CW pueden analizarse mediante la teoría de los múltiples. Por ejemplo, los mapas de múltiples a $n$ -Los complejos CW adimensionales, como los mapas de unión, pueden entenderse en parte tomando una aproximación "suave" y observando las preimágenes de los puntos de cada celda (Goodwillie utiliza este tipo de técnica para generalizar el teorema de Blakers-Massey).

Pero, ¿por qué hay que elegir "de una vez por todas" entre construir cosas a partir de conjuntos o a partir de espacios vectoriales?

Answer 2

Mi reacción instintiva es siempre trabajar con complejos CW porque, como topólogo, me gusta trabajar con espacios. Los conjuntos simpliciales, por muy bonitos que sean, no son espacios.

Answer 3

Ambas lenguas son muy importantes. Trabajando con complejos celulares puedes usar geometría, aproximaciones para probar cosas que parecen irracionales en el nivel simplicial puro. En el lenguaje simplicial las construcciones universales parecen mucho mejores.

Answer 4

Siempre es bueno conocer tanto los complejos CW como los conjuntos simpliciales. Pondré algunos ejemplos.

1. Para definir productos copa en alguna teoría de cohomología multiplicativa, se necesita el mapa diagonal $X\to X\times X$ . No respeta una estructura CW en general, por lo que hay que aproximarla. Se sabe que tal aproximación siempre existe. Si se necesita una concreta, hay que trabajar. En cambio, para los conjuntos simpliciales, el mapa diagonal es simplicial. Pero entonces es más difícil relacionar $h^\bullet(X\times X)$ con $h^\bullet(X)\otimes h^\bullet(X)$ . Una de las posibles soluciones para la cohomología ordinaria conduce a la conocida fórmula del producto taza en cohomología singular. Es interesante observar que esta fórmula del producto taza parece provenir de una aproximación de la diagonal en el producto CW de las realizaciones geométricas.

2. Todo espacio topológico tiene una aproximación mediante un complejo CW débilmente homotópico equivalente. Si se tiene suerte, se encuentra uno con muy pocas celdas, por ejemplo un solo punto basta para el círculo polaco. Pero siempre hay una opción natural, la realización del complejo singular $\left|S_\bullet(-)\right|$ en la mayoría de los casos. Sin embargo, en el caso del círculo polaco, se puede argumentar que una aproximación débilmente homotópica equivalente pierde demasiada información, y preferir utilizar alguna teoría completamente diferente.

3. Partiendo de un colector liso $M$ una función de Morse junto con un campo vectorial de gradiente da un complejo CW, que de nuevo está lejos de ser natural. Pero inmediatamente se recupera la dimensión de $M$ de la estructura de la célula (que luego puedes utilizar para probar una estimación de la longitud de la copa, por ejemplo). El complejo simplicial singular tiene símplices no degenerados en todas las dimensiones, por lo que realmente hay que trabajar hasta recuperar $\dim M$ .

4. Otro punto más. Para cualquier grupo topológico $G$ la construcción de la unión de Milnor da un modelo para el espacio clasificatorio $BG$ que es un espacio simplicial. Está "hecho" para clasificar $G$ -da por $G$ -ciclos. Por otra parte, si $G$ es un grupo de Lie clásico, se puede aproximar $BG$ a través de Grassmannians. Estos clasifican los haces vectoriales que se dan como subhaces de haces triviales (que es como se suelen ver los haces vectoriales en geometría no conmutativa). La construcción es de nuevo menos universal, pero conecta mejor con algunos métodos analíticos. Y uno tiene células de Schubert con las que trabajar.

Incluso puede haber situaciones en las que se quiera combinar la fuerza de ambos enfoques en algún objeto híbrido.

Answer 5

Creo que los topólogos deben ser eclécticos y capaces de moverse entre varios modelos, para ver cuál ayuda mejor a la comprensión. He aquí una cita parcial de Einstein que, en mi opinión, también refleja las preocupaciones del autor de la pregunta:

"¿Qué es lo esencial y qué se basa sólo en los accidentes del desarrollo?... Los conceptos que han demostrado ser útiles para ordenar las cosas asumen fácilmente una autoridad tan grande sobre nosotros, que olvidamos su origen terrestre y los aceptamos como hechos inalterables. ....Por lo tanto, no es sólo un juego vano ejercitar nuestra capacidad de analizar conceptos familiares y demostrar las condiciones de las que dependen su justificación y utilidad, y el modo en que éstas se desarrollaron, poco a poco..."

Los conjuntos simpliciales tienen una teoría muy bien desarrollada, son "convenientes" en muchos sentidos, pero tienen limitaciones. Los resultados del libro Topología algebraica no abeliana:espacios filtrados, complejos cruzados, omega-grupoides cúbicos (NAT) (pdf disponible) ni siquiera se habrían conjeturado de forma simplista, sino que la noción de composiciones múltiples de cubos condujo a su conjetura y demostración. Una búsqueda sobre "cubical" en mathoverflow ofrece más información pertinente. Volviendo a la pregunta, el libro mencionado ofrece una nueva perspectiva de las estructuras relacionadas con las filtraciones CW, y la frontera entre homotopía y homología, utilizando conjuntos cúbicos (con conexiones).

Véase también esta breve presentación de 2015 sobre "A philosophy of modelling and computing homotopy types": aveiro .

5 de enero de 2016 Dado que en otras respuestas se hace referencia a los productos, menciono que el isomorfismo $$C_*(X_*) \otimes C_*(Y_*) \cong C_*(X_* \otimes Y_*)$$ en el caso celular se extiende en este caso a un isomorfismo $$\Pi(X_*) \otimes \Pi(Y_*) \cong \Pi(X_* \otimes Y_*) $$ en el libro NAT anterior. Aquí $\Pi$ es un funtor definido homotópicamente sobre espacios filtrados con valores en complejos cruzados este functor contiene información sobre grupos de homotopía relativa $$\pi_n(X_n, X_{n-1},x), x \in X_0, n \geqslant 2,$$ y sobre la operación de grupo(oid)s fundamental(es) sobre éstos. Las pruebas utilizan métodos cúbicos, basándose en el isomorfismo $I^m_* \otimes I^n_8 \cong I^{m+n}_*$ .