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Si dos conjuntos cualesquiera de un $\pi$ -con ciertas propiedades tienen la misma probabilidad, entonces ¿es lo mismo en el sistema generado de $\sigma$ -¿Álgebra?

Sea $(\Omega,\Sigma)$ sea un espacio medible y $X:\Omega\to\mathbb R$ sea una variable aleatoria medible $\Sigma/\mathscr B$ . Toma, $\mathscr B$ denota el Borel $\sigma$ -en $\mathbb R$ . Supongamos además que

  • $\mathscr P$ es un $\pi$ -sistema encendido $\mathbb R$ (cerrado bajo intersecciones finitas) tal que $\mathscr P$ genera el Borel $\sigma$ -álgebra $\mathscr B$ ;

  • $\nu$ es una medida de probabilidad de Borel sobre $\mathbb R$ ;

  • si $H_1,H_2,\in\mathscr P$ son tales que $X^{-1}(H_1)=X^{-1}(H_2)$ entonces $\nu(H_1)=\nu(H_2)$ .

NOTA: $\nu$  es no se supone que es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$ .

Conjetura: Si $H_1,H_2,\in\mathscr B$ son tales que $X^{-1}(H_1)=X^{-1}(H_2)$ entonces $\nu(H_1)=\nu(H_2)$ .

Es decir, quiero ampliar la indistinguibilidad probabilística de dos conjuntos de forma que las preimágenes de $X$ coinciden en el $\pi$ -sistema al generado $\sigma$ -álgebra. He intentado utilizar el teorema de Dynkin, pero he llegado a un callejón sin salida. Cualquier sugerencia será muy apreciada.

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Terry Phan Puntos 36

La afirmación es falsa. Sea $(\Omega,\Sigma)$ sea un espacio medible arbitrario y que $X(\omega)=0$ , $\omega\in\Omega$ sea constante.

Sea $\mathscr P$ es la colección de los conjuntos de Borel que no contienen el punto $1$ . Se trata claramente de un $\pi$ -(la intersección de un número finito de conjuntos de Borel que falta el punto $1$ es un conjunto de Borel que no contiene $1$ ). Además, $\mathscr P$ genera $\mathscr B$ . Para verlo, supongamos que $B\in\mathscr B$ . Si $1\notin B$ entonces $B\in\mathscr P$ por definición. Si $1\in B$ entonces $B\setminus\{1\}$ está en $\mathscr P$ y el singleton $\{1\}$ está en el $\sigma$ -álgebra $\sigma(\mathscr P)$ generado por $\mathscr P$ dado que $$(-\infty,1)\cup(1,\infty)\in\mathscr P,$$ y $\{1\}$ es el complemento de este último conjunto. Por lo tanto, $ B= B\setminus\{1\}\cup\{1\}\in\sigma(\mathscr P)$ . De ello se deduce que $\mathscr B\subseteq\sigma(\mathscr P)$ y la otra dirección de inclusión es obvia.

Ahora dejemos que $\nu$ sea la masa unitaria en el punto $1$ . Si $H_1$ y $H_2$ están en $\mathscr P$ entonces $\nu(H_1)=\nu(H_2)=0$ siempre se cumple, dado que ninguno de los conjuntos contiene $1$ . Sin embargo, si $H_1=[0,1]$ y $H_2=\{0\}$ entonces $$X^{-1}(H_1)=X^{-1}(H_2)=\Omega,$$ pero $$\nu(H_1)=1\neq 0=\nu(H_2).$$

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