Sea $(\Omega,\Sigma)$ sea un espacio medible y $X:\Omega\to\mathbb R$ sea una variable aleatoria medible $\Sigma/\mathscr B$ . Toma, $\mathscr B$ denota el Borel $\sigma$ -en $\mathbb R$ . Supongamos además que
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$\mathscr P$ es un $\pi$ -sistema encendido $\mathbb R$ (cerrado bajo intersecciones finitas) tal que $\mathscr P$ genera el Borel $\sigma$ -álgebra $\mathscr B$ ;
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$\nu$ es una medida de probabilidad de Borel sobre $\mathbb R$ ;
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si $H_1,H_2,\in\mathscr P$ son tales que $X^{-1}(H_1)=X^{-1}(H_2)$ entonces $\nu(H_1)=\nu(H_2)$ .
NOTA: $\nu$ es no se supone que es la distribución de probabilidad de la variable aleatoria $X$ .
Conjetura: Si $H_1,H_2,\in\mathscr B$ son tales que $X^{-1}(H_1)=X^{-1}(H_2)$ entonces $\nu(H_1)=\nu(H_2)$ .
Es decir, quiero ampliar la indistinguibilidad probabilística de dos conjuntos de forma que las preimágenes de $X$ coinciden en el $\pi$ -sistema al generado $\sigma$ -álgebra. He intentado utilizar el teorema de Dynkin, pero he llegado a un callejón sin salida. Cualquier sugerencia será muy apreciada.