El hessiano como tensor, series de Taylor multidimensionales y generalizaciones

Question

La matriz hessiana $\{\partial_i \partial_j f \}$ de una función $f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ depende del sistema de coordenadas que elijas. Si $x_1,\cdots,x_n$ y $y_1,\cdots,y_n$ son dos conjuntos de coordenadas (digamos, en alguna vecindad abierta de una variedad), entonces $\frac{\partial f(y(x))}{\partial x_i} = \sum_{k} \frac{\partial f}{\partial y_k} \frac{\partial y_k}{\partial x_i}$ . Diferenciando de nuevo, esta vez con respecto a $x_j$ obtenemos $\frac{\partial^2 f(y(x))}{\partial x_i \partial x_j} = \sum_{k} \sum_{l} \frac{\partial^2 f}{\partial y_k \partial y_l} \frac{\partial y_l}{\partial x_j} \frac{\partial y_k}{\partial x_i}+\frac{\partial f(y(x))}{\partial y_k}\frac{\partial^2y}{\partial x_i \partial x_j}$ . En un punto crítico, el segundo término desaparece, por lo que consideraremos tal caso.

En otras palabras, si la derivada es una diferencial $1$ -forma, es decir $\sum_{i} \frac{\partial f}{\partial x_i} dx_i$ una sección del haz cotangente, entonces la segunda derivada debe ser $\sum_{k,l} \frac{\partial^2 f(y(x))}{\partial y_k \partial x_l} dy_k \otimes dy_l$ . Esto tiene sentido ya que $dy_k=\sum_{i} \frac{\partial y_k}{\partial x_i} dx_i$ y $dy_l=\sum_{j} \frac{\partial y_l}{\partial x_j} dx_i$ lo que significa que $\sum_{k,l} \frac{\partial^2 f(y(x))}{\partial y_k \partial x_l} dy_k \otimes dy_l = \sum_{k,l} \frac{\partial^2 f(y(x))}{\partial y_k \partial x_l} (\sum_{i} \frac{\partial y_k}{\partial x_i} dx_i) \otimes (\sum_{j} \frac{\partial y_l}{\partial x_j} dx_j) = \sum_{i,j,k,l} \frac{\partial^2 f(y(x))}{\partial y_k \partial x_l} \frac{\partial y_k}{\partial x_i} \frac{\partial y_l}{\partial x_j} dx_i dx_j = \sum_{i,j} \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}$ por lo que es independiente de las coordenadas. Nótese que no usé potencias exteriores, usé potencias tensoriales, ya que quería encontrar realmente una forma de dar sentido a las segundas derivadas, en lugar de tener $d^2=0$ . Esto significa que el hessiano debe ser un rango $2$ tensor ((2,0) o (0,2), no recuerdo cual, pero definitivamente no (1,1)).

¿Tiene sentido? ¿Podemos entonces expresar la tercera derivada, etc., como un tensor? Y lo que es más interesante, ¿cómo puede esto ayudarnos a entender la fórmula de Taylor? ¿Podemos obtener una serie de Taylor sin coordenadas de una función en un punto de una variedad?

EDIT: An en general, si el primer $n$ desaparecen, entonces la $n+1$ derivada debe ser un rango $n+1$ tensor, ¿verdad?

Answer 1

¡No, no, no! Te has dejado un término que implica $\frac{df(y(x))}{dy}\frac{d^2y}{dx^2}$ . Este término desaparece en los puntos críticos, es decir, en los puntos en los que $df=0$ -- de modo que, efectivamente, en ese punto el hessiano define un tensor -- una forma bilineal simétrica sobre el espacio tangente en ese punto -- independiente de las coordenadas. Prestar atención a qué tipo de forma bilineal resulta ser es el principio de la teoría de Morse, pero sólo se define intrínsecamente como un tensor si estás en un punto crítico.

Obsérvese que incluso la cuestión de si el hessiano es cero o no depende de las coordenadas. Incluso en una variedad unidimensional.

Los polinomios de Taylor no viven en haces tensoriales, sino en algo más sutil llamado haces de chorros.

Answer 2

Perdón por revivir esta pregunta. Todo lo que ha dicho Tom es correcto, pero hay algo más que decir sobre las "series de Taylor sin coordenadas".

Es cierto que los haces de chorros arbitrarios $J^k(M,N)$ son sutiles. Las fibras son espacios vectoriales, pero los mapas de transición no son lineales. El caso especial $J^k(M,\mathbb{R})$ es un haz vectorial y aquí es donde la serie de Taylor de un mapa $f : M \to \mathbb{R}$ vidas. El haz vectorial $J^k(M,\mathbb{R})$ no es una potencia tensorial del haz tangente, como señaló Tom, pero es mucho más fácil de entender que un haz de chorros arbitrario. De hecho, el grupo estructural de $J^k(M,\mathbb{R})$ a veces se denomina grupo Phylon.

Answer 3

De forma más general, para cualquier haz vectorial $V \to M$ la desaparición de una sección en un punto con un orden dado $k$ es independiente de las coordenadas locales y de la elección de la base de las secciones locales, y cuando esto ocurre en algún punto $m \in M$ El $(k+1)$ -de la sección local en ese punto es un elemento bien definido de $S^kT^*_mM \otimes V_m$ .