¿Cuál es la forma correcta de abordar $\int\frac{\cos x}{6+2\sin x-\cos^2x}dx$ ?

Question

Tengo $$\int\frac{\cos x}{6+2\sin x-\cos^2x}dx .$$

Los solucionadores online tienen problemas con ello así que lo que necesito son algunas pautas generales sobre cómo proceder con tal de si necesito aplicar alguna identidad goniométrica, o necesito dividirlo en fracciones parciales o tal. Muchas gracias por cualquier ayuda.

Answer 1

$$\int \frac{\cos x}{6+2\sin x-\cos^2 x}\, dx=\int \frac{1}{6+2\sin x-\left(1-\sin^2 x\right)}\, d(\sin x)$$

Sea $u=\sin x$ .

$$=\int \frac{1}{u^2+2u+5}\, du=\int \frac{1}{(u+1)^2+4}\, d(u+1)$$

Sea $2t=u+1$ . Entonces $d(u+1)=2\, dt$ .

$$=\frac{1}{2}\int \frac{1}{t^2+1}\, dt=\frac{1}{2}\arctan t+C=\frac{1}{2}\arctan \frac{\sin x+1}{2}+C$$

Answer 2

Sugerencia : todas las integrales de la forma $$\int\frac{P(\cos x,\sin x)}{Q(\cos x,\sin x)}\mathrm dx,$$ donde $P$ y $Q$ son polinomios, pueden calcularse mediante el cambio de variables $t=\tan\frac x2$ que produce $$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad\mathrm dx=\frac{2}{1+t^2}\mathrm dt.$$

Answer 3

$$\int\frac{\cos(x)}{6+2\sin(x)-\cos^2(x)}\space\text{d}x=$$

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Utilice $\cos^2(x)=1-\sin^2(x)$ :

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$$\int\frac{\cos(x)}{5+2\sin(x)+\sin^2(x)}\space\text{d}x=$$

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Sustituir $u=\sin(x)$ y $\text{d}u=\cos(x)\space\text{d}x$ :

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$$\int\frac{1}{u^2+2u+5}\space\text{d}u=$$ $$\int\frac{1}{(u+1)^2+4}\space\text{d}u=$$

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Sustituir $s=u+1$ y $\text{d}s=\text{d}u$ :

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$$\int\frac{1}{s^2+4}\space\text{d}s=$$ $$\int\frac{1}{4\left(\frac{s^2}{4}+1\right)}\space\text{d}s=$$ $$\frac{1}{4}\int\frac{1}{\frac{s^2}{4}+1}\space\text{d}s=$$

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Sustituir $p=\frac{s}{2}$ y $\text{d}p=\frac{1}{2}\space\text{d}s$ :

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$$\frac{1}{2}\int\frac{1}{p^2+1}\space\text{d}p=$$ $$\frac{\arctan\left(p\right)}{2}+\text{C}=$$ $$\frac{\arctan\left(\frac{s}{2}\right)}{2}+\text{C}=$$ $$\frac{\arctan\left(\frac{u+1}{2}\right)}{2}+\text{C}=$$ $$\frac{\arctan\left(\frac{\sin(x)+1}{2}\right)}{2}+\text{C}$$