¿Hay alguna manera de demostrar esta desigualdad exponencial: si $a>b$ entonces $a^a>b^b$ para $a,b>1$ ?

Question

Me encontré con esta proposición mientras intentaba demostrar que una función era inyectiva: si $a>b$ entonces $a^a>b^b$ , donde $a$ et $b$ son números reales mayores que $1$ . Intuitivamente (de alguna manera) tiene sentido, pero me pregunto si se puede hacer una prueba rigurosa. Pero, el problema inicial que intentaba resolver era demostrar que $f(x)=x^x$ , donde $x$ es sólo un número real positivo, es inyectiva . Como el "método contrapositivo" de la definición de una función inyectiva no funcionaba, pensé que podía demostrar que mi función era estrictamente creciente o decreciente, por lo que la función sería inyectiva. Miré la gráfica de esta función y me di cuenta de que tengo un punto de inflexión en $x=1/e$ (como señaló el usuario MXYMXY). Por lo tanto, tenía dos casos para mi función.

Answer 1

Estás pidiendo que se demuestre que el mapa $f(x):=x^x=\exp(x\log x)$ es estrictamente creciente. Pero como $x\mapsto x$ et $x\mapsto\log x$ son ambas estrictamente crecientes y la primera es $>1$ en $\Bbb R_{>1}$ Su producto es tal (en $\Bbb R_{>1}$ ).

Entonces la exponencial también es estrictamente creciente, por lo que $f$ es la composición de mapas estrictamente crecientes, por lo que también es estrictamente creciente.

Answer 2

Si $a\gt b$ et $a\gt1$ et $b\gt1$ et $a,b\in\mathbb{R}$ entonces esto implica: $$a^b\gt b^b\tag{1}$$

Además, si $a\gt b$ entonces esto implica: $$a^a\gt a^b\tag{2}$$

Ahora, haciendo uso del resultado (1) en el resultado (2) se obtiene: $$a^a\gt a^b\gt b^b$$

Answer 3

Obsérvese que la derivada de $x^x$ es $(\ln(x)+1)x^x>0$ (ver ici ) si $x>e^{-1}$ , lo que implica $x^x$ es una función estrictamente creciente si $x>e^{-1}$ .

Esto implica que su afirmación es cierta no sólo cuando $a,b>1$ pero también $a,b>e^{-1}$

Answer 4

Prueba esta secuencia de desigualdades: $$b^b < b^a < a^a $$

Answer 5

Desde $a > b > 1$ y como $\log(x)$ es un aumentando función de $x$ entonces $$\log(a) > \log(b) > 0.$$ Multiplicando estas dos desigualdades: $$a > b > 1$$ y $$\log(a) > \log(b) > 0$$ le da $$a\log(a) > b\log(b).$$ Por una propiedad de los logaritmos ( $x\log(x) = \log(x^x)$ ), esto implica $$\log(a^a) > \log(b^b).$$ De nuevo, ya que $\log(x)$ es un aumentando función de $x$ obtenemos $$a^a > b^b.$$

QED