Este problema es del concurso del instituto Purple Comet, 2016.
Se colocan diez fichas cuadradas en fila, y cada una puede pintarse con uno de los cuatro colores rojo (R), amarillo (Y), azul (B) y blanco (W). Halla el número de formas en que se puede hacer esto para que cada bloque de cinco fichas adyacentes contenga al menos una ficha de color rojo (R). adyacentes contenga al menos una ficha de cada color. Es decir, cuenta los patrones RWBWYRRBWY y WWBYRWYBWR pero no RWBYYBWWRY porque las cinco baldosas adyacentes de color BYYBW no no incluyen el color rojo.
Es fácil ver que para que un determinado color aparezca en cualquier bloque de cinco fichas, debe haber al menos dos fichas de ese color y las dos fichas deben estar en uno de los siguientes pares de posiciones:
\begin{align*} & 1,6 \\ & 2,6 \quad 2,7 \\ & 3,6 \quad 3,7 \quad 3,8 \\ & 4,6 \quad 4,7 \quad 4,8 \quad 4,9 \\ & 5,6 \quad 5,7 \quad 5,8 \quad 5,9 \quad 5,10 \\ \end{align*}
Tenemos que elegir 4 de los pares anteriores de forma que no haya dos que tengan la misma primera coordenada/segunda coordenada y asignar los cuatro colores uno a cada par. Las dos fichas restantes pueden ser de cualquier color.
Si elegimos cuatro de $(1,6), (2,7), (3,8), (4,9), (5,10)$ hay 24 maneras de asignar los cuatro colores y el número de coloraciones es $5 \cdot 24 \cdot\left(\frac{4}{2} + \binom{4}{2} \cdot 2\right) = 1680$ .
Cuando elegimos cuatro pares distintos de los cinco anteriores, hay 26 formas de elegir los cuatro pares y hay múltiples recuentos de formas sutiles:
Por ejemplo, cuando elegimos que los pares $(1,6), (3,7), (4,8), (5,9)$ la coloración $WWBRYWBRYY$ se cuenta 4 veces: las otras tres se producen a partir de los pares $((2,6), (3,7), (4,8), (5,9))$ , $((2,6), (3,7), (4,8), (5,9))$ , $((1,6), (3,7), (4,8), (5,10))$ y $((2,6), (3,7), (4,8), (5,10))$ y los colorantes $WWBRYWBRYW, WWBRYWBRYB, WWBRYWBRYR$ se cuentan dos veces cada uno.
No consigo eliminar todos los recuentos múltiples. La respuesta es 7296.
