Límite de la relación de la función gamma incompleta

Question

Para derivar la aproximación de Sterling, necesito demostrar que la siguiente integral decae más rápido que al menos $\mathcal{O}(n^2)$ : $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\int_{2n}^\infty x^ne^{-x}dx}{\int_{0}^{2n} x^ne^{-x}dx}$ es como máximo $\mathcal{O}(n^2)$ esta integral puede escribirse como $\lim_{n\to\infty}\dfrac{\Gamma(n+1,2n)}{\gamma(n+1,2n)}$ en términos de funciones gamma incompletas. Llevo un mes probando métodos analíticos, pero sin resultado. Intenté graficar la relación de este ratio con $\frac{1}{n^6}$ es decir $\dfrac{n^6\int_{2n}^\infty x^ne^{-x}dx}{\int_{0}^{2n} x^ne^{-x}dx}$ vs n como se muestra a continuación y por lo tanto estoy seguro de que decae al menos tan rápido como $\mathcal{O}(n^6)$ Tal vez decae exponencialmente, sin embargo necesito producir un límite superior analítico para la relación.

¿Hay alguna luz? o alguna identidad en las funciones gamma incompletas?

Answer 1

Podemos utilizar algunas estimaciones bastante brutales. Por un lado, \begin{align} \int_0^{2n} x^n e^{-x}\,dx &> \int_n^{2n} x^n e^{-x}\,dx \\ &> n^n \int_n^{2n} e^{-x}\,dx \\ &= n^ne^{-n}(1-e^{-n}) \\ & > \frac{n^n}{2e^n} \end{align} para $n \geqslant 1$ .

Por otra parte, con $g(x) = x^n e^{-x/2}$ tenemos $$g'(x) = \biggl(\frac{n}{x} - \frac{1}{2}\biggr)g(x) \leqslant 0$$ para $x \geqslant 2n$ de donde \begin{align} \int_{2n}^{\infty} x^ne^{-x}\,dx &= \int_{2n}^{\infty} g(x) e^{-x/2}\,dx \\ &\leqslant g(2n) \int_{2n}^{\infty} e^{-x/2}\,dx \\ &= 2g(2n)e^{-n} \\ &= 4\cdot \frac{n^n}{2e^n}\cdot \biggl(\frac{2}{e}\biggr)^n\,. \end{align} Por lo tanto $$\frac{\Gamma(n+1,2n)}{\gamma(n+1,2n)} \leqslant 4\biggl(\frac{2}{e}\biggr)^n\,,$$ es decir, tenemos un decaimiento exponencial.