Resolver la relación de recurrencia $a_{n+1}=\frac{2a_n^2}{1-2a_n^2}$

Question

¿Cómo resolvemos la relación de recurrencia $a_{n+1}=\frac{2a_n^2}{1-2a_n^2}$ ?

Encontré este problema en la página 56 del libro de Carl M. Bender y Steven A. Orszag Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers, en la sección que trata de las ecuaciones en diferencias no lineales.

He intentado utilizar la sustitución $b_n=\frac{1}{2a_n}$ para obtener $b_{n+1}=b_n^2-\frac12$ . He buscado un poco por aquí y he descubierto que no parece haber una solución (conocida) de forma cerrada para este mapa cuadrático.

En esta sección del libro, el autor sólo menciona algunos ejemplos de resolución de ecuaciones en diferencias no lineales mediante sustituciones y funciones generadoras, y no menciona nada sobre mapas cuadráticos, por lo que supongo que este problema puede resolverse mediante las sustituciones adecuadas.

¿Podría darme algunas pistas? La solución puede pasar por la suma, etc., si es necesario.

Answer 1

Puede que la respuesta a tu pregunta no tenga una forma cerrada, pero no es tan complicada. Define las constantes reales $$ w :=\! \sqrt{3}, \; p :=\! (-1\!+\!w)/2, \; q :=\! (-1\!-\!w)/2. \tag{1} $$ Definir la función de recurrencia $$ f(x) := 2x^2/(1-2x^2). \tag{2} $$ Observe que $\,p\,$ es un repelente mientras que $\,q\,$ es un punto fijo atrayente de $\,f(x).\,$

Definir la serie de potencias convergente $$ s(x) \!:=\! x \!+\!\! \left(\frac12\!-\!\frac56w\right)\!x^2 \!+\!\! \left(\frac73\!-\!\frac23w\right)\!x^3 \!\!+\! O(x^4).\! \tag{3} $$ Entonces se cumple la siguiente ecuación funcional $$ f(q+s(x)) = q+s(-2px) \tag{4} $$ donde los coeficientes de $\,s(x)\,$ son determinadas de forma única para que la ecuación funcional funcional. Por tanto, la convergencia ( $\;|\!-\!2p|<1\;$ ) secuencia para cualquier $\,x_0\,$ definido por $$ a_n := q + s((-2p)^n x_0) \tag{5} $$ satisface $\,a_n \to q\,$ como $\,n\to\infty\,$ y la recursión $$ a_{n+1} = f(a_n). \tag{6} $$

Para su información PARI/GP para calcular la serie de potencias de $\,s(x)\,$

w = quadgen(12); p = (-1+w)/2; q = (-1-w)/2;
f(x) = 2*x^2/(1-2*x^2); 
nxt(n) = {my(s, c='c);
  s = truncate(stx + O(x)^n) + c*x^n*(1 + O(x));
  s = truncate(f(q+s) - (q+subst(s, x, -2*p*x)))/x^n;
  sx -= x^n * polcoeff(s, 0, c)/polcoeff(s, 1, c)};
sx = x ; for(n=2, M=9, nxt(n)); print(sx + x*O(x)^M);