Pruebas $e = (\Delta m) c^2$ por aproximación lineal

Question

En relatividad la masa es $\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ en velocidad $u$ . En el problema 20, esto es casi $m_0 + $ _ para pequeños $v$ . Demuestre que la energía cinética $\frac 1 2 mv^2$ y el cambio de masa satisfacen la ecuación de Einstein $e = (\Delta m) c^2$ .

Comenzamos con $m \approx m_0 + \frac 1 2 \frac {v^2}{c^2}$ . Entonces, tenemos $\Delta m \approx \frac 1 2 \frac {v^2}{c^2}$ . Esta ecuación parece extraña ya que hay masa en el lado izquierdo y no hay unidad en el lado derecho. Sin embargo, lo ignoramos y continuamos. Ahora obtenemos $(\Delta m) c^2\approx \frac 1 2 v^2$ . ¿Por qué nos falta un $m$ ¿en el lado derecho?

Answer 1

Recordemos que a partir del teorema del binomio tenemos

$$\left(1-x\right)^{-1/2}=1+\frac12 x+O(x^2)$$

Ahora, utilizando $x=v^2/c^2$ tenemos

$$m\approx m_0\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right) $$

para que

$$m-m_0=\frac12 m_0v^2/c^2$$

Por último $\Delta m=m-m_0$ . Entonces, obtenemos

$$\Delta mc^2=\frac12 m_0v^2$$

Answer 2

La ecuación correcta es $m\approx m_0(1+\frac{v^2}{2c^2})\implies \Delta m_0=\frac{m_0v^2}{2c^2}$ A continuación, se igualan las dimensiones.

Answer 3

Según la relatividad, si $m_0$ es la masa de un cuerpo en reposo, entonces la masa $m$ de un cuerpo a una velocidad $v$ $$m=\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=m_0\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$
aplicar el teorema binomial para $v^2/c^2<<1$ , $$m=m_0\left(1-\left(-\frac12\right)\frac{v^2}{c^2}\right)$$
$$m=m_0\left(1+\frac{v^2}{2c^2}\right)$$
$$m=m_0+\frac{m_0v^2}{2c^2}$$
$$m-m_0=\frac{m_0v^2}{2c^2}$$
$$\Delta m=\frac{m_0v^2}{2c^2}$$
$$\Delta m c^2=\frac{1}{2}m_0v^2$$