Función de densidad marginal de una nueva variable

Question

Pregunta: Sea $X \sim U[0,1]$ y $Y \sim U[0,1]$ sean variables aleatorias independientes. Considerando las variables aleatorias $U=Y$ , $V=XY^{2}$ o en caso contrario, hallar la función de densidad de probabilidad de $V$ .

Mi respuesta: Sabemos que

$ F_{X}(x)=\left\{\begin{matrix} x & 0 \leq x \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ y $ F_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} y & 0 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

Por lo tanto $ f_{X}(x)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0 \leq x \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ y $ f_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0 \leq y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

$U=Y,V=XY^{2} \Rightarrow X=\frac{V}{U^{2}},Y=U$

Así que.., $J(U,V)=det\begin{pmatrix} -\frac{2v}{u^{3}} & 1\\ \frac{1}{u^{2}} & 0 \end{pmatrix}=-\frac{1}{u^{2}}$

$X,Y$ independiente $\Rightarrow f_{X,Y}(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0 \leq x,y \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

Así que.., $f_{U,V}(u,v)=|J(U,V)|f_{X}(\frac{v}{u^{2}})f_{Y}(u)=\left\{\begin{matrix} \frac{1}{u^{2}} & 0 \leq u,v \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$

Mi problema ahora es: ya que es el producto de una función de $U$ y en función de $V$ ¿Puedo decir $f_{V}(v)=\left\{\begin{matrix} 1 & 0 \leq v \leq 1\\ 0 & otherwise \end{matrix}\right.$ para que $V \sim U[0,1]$ ¿También?

Answer 1

No no puedes llegar a esa conclusión. Lo estás haciendo bien todos los pasos excepto las regiones de $u$ y $v$ . Ha obtenido el PDF conjunto de $U$ y $V$ $$ f_{U,V}(u,v)=\frac1{u^2}. $$ Esto es correcto . Ahora las regiones. Usted tiene $0\le y\le1$ esta región corresponde a $0\le u\le1$ . Se debe a su transformación $Y=U$ . También tiene $0\le x\le1$ esta región corresponde a $0\le \dfrac v{u^2}\le1\;\Rightarrow\;0\le u\le v^2$ . Se debe a su transformación $X=\dfrac V{U^2}$ . Si traza esas regiones (compruebe el trazado aquí ), se pueden obtener las PDF marginales de $U$ y $V$ como sigue $$ \begin{align} f_U(u)&=\int_{v=0}^{u^2}f_{U,V}(u,v)\ dv\ ;\quad\text{the region is bounded by $v=0$ and $v=u^2$ if you see it from $u$-axis}\\ &=\int_{v=0}^{u^2}\frac1{u^2}\ dv\\ &=\left.\frac v{u^2}\right|_{v=0}^{u^2}\\ &=1\;;\quad\text{ for } 0\le u\le1. \end{align} $$ y $$ \begin{align} f_V(v)&=\int_{u=\sqrt{v}}^{1}f_{U,V}(u,v)\ du\ ;\quad\text{the region is bounded by $u=1$ and $u=\sqrt{v}$ if you see it from $v$-axis}\\ &=\int_{u=\sqrt{v}}^{1}\frac1{u^2}\ du\\ &=\left.-\frac 1{u}\right|_{u=\sqrt{v}}^{1}\\ &=\frac 1{\sqrt{v}}-1\;;\quad\text{ for } 0\le v\le 1. \end{align} $$ "Casualmente $U\sim\mathcal{U}(0,1)$ pero no porque su distribución original sean distribuciones uniformes ni tampoco el producto de $U$ y $V$ .

Answer 2

Hay varios problemas con lo que has hecho. En primer lugar, debería dividir por $|J|$ no multiplicar.

Además, debes prestar atención a los límites. La función de densidad del uniforme es $I(0\leq x \leq 1)$ con $I$ la función indicadora (y lo mismo para $y$ ). Después de su cambio de variables, $I(0\leq x \leq 1)=I(0\leq v/u^2 \leq 1)$ esto debería estar en su densidad conjunta de $U,V$ .

Por último, para obtener la densidad marginal de $V$ a partir de la densidad conjunta de $(U,V)$ puedes integrar $u$ de la densidad conjunta.

Answer 3

En deseado solución al problema se complica innecesariamente por la necesidad arrastrar jacobianos y similares, para hallar primero la distribución conjunta de $U$ y $V$ y, a continuación, hallar la distribución marginal de $V$ . Si el método no es obligatorio (como sugiere el enunciado or otherwise en el en el enunciado del problema), podemos escribir más sencillamente que para cualquier $\alpha$ , $0 < \alpha < 1$ , $$\begin{align} P\{V > \alpha\} &= P\{XY^2 > \alpha\}\\ &= \int_{x=\alpha}^1 \int_{\sqrt{\frac{\alpha}{x}}}^1 f_{X,Y}(x,y)\,\mathrm dy \,\mathrm dx\\ &= \int_{x=\alpha}^1 1 - \sqrt{\frac{\alpha}{x}} \,\mathrm dx\\ &=\biggr[ x - 2\sqrt{\alpha x}\,\,\biggr|_\alpha^1\\ &= 1 - \alpha - 2\sqrt{\alpha}+2\alpha\\ &= 1 + \alpha -2\sqrt{\alpha} \end{align}$$ En consecuencia, $$\displaystyle f_V(\alpha) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\alpha}F_V(\alpha) = \frac{\mathrm d}{\mathrm d\alpha}P\{V \leq \alpha\} = \left.\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d\alpha}\right[1 - P\{V > \alpha\}\right] = \frac{1}{\sqrt{\alpha}} - 1, 0 < \alpha < 1.$$