Sea $A$ sea $C ^ {*}$ álgebra, $a ∈ A$ , $ p$ , $q ∈ A$ sean proyecciones ortogonales Demuestre que si a es positivo y $pap = 0$ entonces $paq = 0$ .

Question

Sea $A$ sea $C ^{ *}$ álgebra, $a A$ , $p$ , $q A$ sean proyecciones ortogonales. Demostrar que si a es positivo y $pap = 0$ entonces $paq = 0$ .

de la condición de proyección ortogonal tenemos que $pq=0$ ¿pero cómo se puede utilizar/relacionar esto para resolver el problema?

Answer 1

Desde $a\geq 0$ entonces $a = b^*b$ para algún elemento $b$ en $A$ . Esto nos permite escribir (por el $C^\ast$ -identidad) $$ 0 = \Vert pap \Vert = \Vert (bp)^*bp \Vert= \Vert bp \Vert^2 $$ y así $bp=0$ . Aplicando el adjunto se obtiene $pb^*=0$ . Por lo tanto $ paq = (pb^*)bq = 0$ y ya está.