Si $\alpha\colon C \to C'$ es un mapa de complejos de cadenas (de grupos abelianos libres) que induce un isomorfismo en la homología $a_{*} \colon H_n(C) \simeq H_n(C')$ entonces sé que $\alpha$ induce un isomorfismo en la cohomología $a^{*} \colon H^n(C;G) \simeq H^n(C';G)$ con coeficientes en cualquier grupo abeliano $G$ . Pero, ¿es también cierto que $\alpha$ induce un isomorfismo en la homología $a_{*} \colon H_n(C;G) \simeq H_n(C';G)$ con coeficientes en cualquier grupo abeliano $G$ o (más probablemente) ¿hay algún contraejemplo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
He aquí una respuesta suponiendo que $\alpha$ es un mapa en cadena; sin esta suposición no veo cómo se puede hablar de mapas inducidos de grupos homológicos enteros. Entonces la respuesta a tu pregunta es positiva y se deduce del Teorema Universal del Coeficiente (TUC). En efecto, puesto que $\alpha$ es un mapa en cadena, induce mapas $\alpha_{i*}: H_i(C; G)\to H_i(C'; G)$ para grupos abelianos arbitrarios $G$ . Dado que la declaración de la UCT proporciona una natural secuencia exacta corta, obtenemos isomorfismos $$ \beta_i: H_i(C)\otimes G \to H_i(C')\otimes G $$ $$ \gamma_i: Tor(H_{i-1}(C), G)\to Tor(H_{i-1}(C'), G) $$ que (junto con $\alpha_{i*}$ ) forman un diagrama conmutativo con secuencias UCT para $C, C'$ en la parte superior y en la inferior. (Lo siento, no se me da muy bien dibujar diagramas en la versión de TeX que se utiliza en MSE). Ahora bien, el hecho de que $\alpha_{i*}$ es un isomorfismo se deduce del diagrama que se persigue en este diagrama conmutativo. Por ejemplo, para ver la inyectividad, obsérvese que un elemento $x$ del núcleo tiene que proyectarse a cero en $Tor(H_{i-1}(C), G)$ . Por lo tanto, pertenece a $H_i(C; {\mathbb Z})\otimes G$ pero entonces la inyectividad de $\beta_i$ implica que $x=0$ .
