Puntos fijos de homomorfismo de anillo polinómico

Question

$S=\mathbb R[x+y+z, xy+yz+zx, xyz]$ es el anillo de los polinomios simétricos en $\mathbb R[x,y,z]$ . Sea $\psi\colon S \to R[x,y,z]$ ser un homomorfismo de anillo s \begin{align} x &\mapsto -x,\\ y &\mapsto z-x, \\ z &\mapsto y-x. \end{align} Me gustaría saber cómo encontrar los puntos fijos de $\psi$ es decir, los polinomios $p$ tal $\psi(p)=p$ o, de forma equivalente, tal que $p(x,y,z)=p(-x,z-x,y-x)$ (aparte de los polinomios constantes).

Tenemos \begin{align} a = x+y+z &\mapsto -3x+y+z = A\\ b= xy+yz+zx &\mapsto 3 x^2 - 2 xy - 2xz + y z = B\\ c= xyz &\mapsto -x^3 + x^2 y + x^2 z - x y z = C . \end{align}

Hasta ahora he descubierto que $C= - c + x^2 (A-2x)$ y $B+Ax= - b + 2 yz$ pero no puedo deshacerme fácilmente de ellos $x,y,z$ ...y en realidad sólo estoy intentando encontrar a ciegas algunas relaciones y, con suerte, algunos puntos fijos. Incluso si encontrara alguno de esos polinomios, seguiría sin saber si no hay otros... Cualquier ayuda para desenredar este lío sería muy apreciada, así como alguna referencia sobre el tema de los polinomios invariantes :)

Answer 1

Quieres encontrar polinomios que sean invariantes tanto por $\psi$ y la acción natural de $S_3$ en $\Bbb R[x,y,z]$ por lo que es natural mirar al subgrupo $G$ de $Aut(\Bbb R[x,y,z])$ generado por $\psi$ y $S_3$ .

Resulta que $G$ es isomorfo a $S_4$ .

Dado que nuestra copia de $S_3$ en $G$ parece una copia de $S_3$ en $S_4$ (un normalizador de un elemento del conjunto en el que $S_4$ actos), $G$ es el grupo de permutaciones de $G/S_3$ . Un polinomio natural invariante por $S_3$ es $T = x+y+z$ sus otras imágenes por $G$ son entonces $X = -3x+y+z, Y = x-3y+z$ y $Z = x+y-3z$ .

Ahora bien, es fácil comprobar que $G$ es el grupo de permutaciones de $\{X;Y;Z;T\}$ porque la acción de $S_3$ en $x,y,z$ se traduce en la misma acción sobre $X,Y,Z$ y $\psi(X,Y,Z,T) = (T,Z,Y,X)$

Ahora dejemos que $X,Y,Z,T$ sean indeterminados y que $\phi : \Bbb R[X,Y,Z,T] \to \Bbb R[x,y,z]$ se define por $\phi(X) = -3x+y+z$ etc. $G$ actúa sobre ambos anillos y su acción es compatible con $\phi$ ( $\phi$ es un mapa de $G$ -).

$\phi$ tiene un inverso derecho $\sigma :\Bbb R[x,y,z] \to \Bbb R[X,Y,Z,T]$ definido, por ejemplo, por $\sigma(x) = (T-X)/4$ etc, lo que demuestra que $\phi$ es suryectiva. De hecho, se puede demostrar que $\sigma$ también es un mapa de $G$ -(esto está bastante claro para los módulos $S_3$ parte de $G$ por lo que sólo hay que comprobar que $\psi$ conmuta con $\sigma$ )

Esto demuestra que $\Bbb R[X,Y,Z,T]$ es la suma directa de $\ker \phi$ y $\sigma(\Bbb R[x,y,z])$ (como $G$ -), y que todos los invariantes en $\Bbb R[x,y,z]$ proceden de invariantes en $\Bbb R[X,Y,Z,T]$ .

Pero es bien sabido que $\Bbb R[X,Y,Z,T]^G = \Bbb R[E_1,E_2,E_3,E_4]$ donde el $E_i$ son los polinomios simétricos elementales en $X,Y,Z,T$ .

$\phi(E_1) = 0$ (de hecho $\ker \phi = (E_1)$ ) ; pero se obtiene
$\phi(E_2) = -6(x^2+y^2+z^2)+4(xy+yz+zx)$
$\phi(E_3) = -8(x^3+y^3+z^3)+8(x^2y+x^2z+xy^2+xz^2+y^2z+yz^2)-16xyz$
$\phi(E_4) = -3(x^4+y^4+z^4)+4(x^3y+x^3z+xy^3+xz^3+y^3z+yz^3) +14(x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2) -20xyz(x+y+z)$