Demostrar el valor de la abstracción de los elementos o subconjuntos de los mapas

Question

Dado un conjunto $S$, aquí están 5 maneras de pensar acerca de los elementos de $S$, en el aumento de la abstracción:

1. un verdadero elemento, por ejemplo, $s\in S$
2. una inclusión mapa, por ejemplo, $i_s:\{s\}\hookrightarrow S$
3. una clase de equivalencia de los mapas de los embarazos únicos, por ejemplo, $\{f:X\rightarrow S\mid X\text{ is a singleton}\}/\sim$ donde $(f:X\rightarrow S)\sim (g:Y\rightarrow S)$ si hay un bijection $j:X\rightarrow Y$ tal que $f=g\circ j$
4. un mapa de un singleton $f:{\ast}\rightarrow S$
5. un mapa de $f:T\rightarrow S$ donde $T$ es cualquier conjunto

A pesar de que ninguna de estas definiciones son especialmente complicado, creo que el proceso de llegar a definiciones 4 y 5 de la definición 1 es uno de los logros más importantes de la matemática moderna. Lo que yo veo como dos de los aspectos clave: el cambio de enfoque de los elementos de los mapas, y el cambio de tratar de tomar clases de equivalencia de isomorfo las cosas a "no preocuparse" (es decir, tomar cualquiera de ellos). Los mismos pasos conceptuales puede hacerse casi en cualquier lugar - el núcleo de un grupo homomorphism $f:G\rightarrow H$, en lugar de ser un subconjunto $\ker(f)\subseteq G$, puede ser definida como un mapa de $k:K\rightarrow G$ la satisfacción universal de los bienes (la cual, en particular, especifica sólo $K$ $k$ a (único) isomorfismo).

Pero sin embargo profundamente imaginativo e iluminando puedo encontrar la anterior forma de pensar, si alguien no ha visto situaciones en las matemáticas, donde este tipo de enfoque es útil, o al menos aclarar, que muy bien puede considerar innecesario de abstracción. Aquí es un caso particular de que yo estaba discutiendo recientemente: submanifolds de un colector $M$. Estaba seguro que mucho más estético definición de la inmerso submanifold sería simplemente "una inmersión $f:N\rightarrow M$" (posiblemente necesarios para ser inyectiva), y una incrustado submanifold sería simplemente "un suave incrustación $f:N\rightarrow M$". Pero no sé lo suficiente acerca de la teoría de colectores para dar ejemplos de casos en los que un enfoque es útil, ya sea en un sentido práctico (nos ayuda a demostrar teoremas), o simplemente en la prestación de la intuición, o incluso para saber si es realmente una buena definición alternativa.

Así que, me gustaría pedir ejemplos en los que el tipo de abstracciones estoy hablando han avanzado algunos de los aspectos de las matemáticas - mejor teoremas sería lo ideal, pero es mejor que la intuición también es una buena idea - y la más accesible el mejor. El gran ejemplo que conozco es el punto de vista relativo en la geometría algebraica, pero esto sería difícil de explicar a alguien que no estaba ya familiarizado con los esquemas y sus morfismos. Yo estaría esperando ejemplos que requieren (al menos ligeramente) menos de maquinaria. También, estoy especialmente interesada en saber si mi submanifold definiciones son útiles, y si es así, si hay alguna recursos (ya sea en un libro o en línea) para la topología diferencial, donde este tipo de enfoque abstracto se pone de relieve.

Answer 1

En última instancia, la abstracción en el punto 5 anterior bien encapsulado en el Yoneda lema. En una categoría general, no hay manera de profundizar en la "estructura interna" de un objeto. Por otro lado, uno puede, en la práctica, para muchos de hormigón categorías (juegos, grupos, espacios topológicos, ...) e incluso no tan concretos (simplicial establece, frente a las categorías de cemento, ...) ver los objetos de una manera más individualizada que la abstracción de la categoría de la teoría puede permitirse. Así que ¿por qué molestarse con esta flecha-enfoque teórico?

Uno es que, en última instancia, probando cosas en una flecha de la teoría de contexto es mucho más eficiente que probando para cada categoría específica. E incluso si uno quería demostrar que para cada categoría específica, el más limpio enfoque suele ser la utilización de la característica universal. Aquí está un ejemplo sencillo. Supongamos que uno quería mostrar que el abelianization de la libre grupo en un conjunto $S$ es el libre abelian grupo en $S$. Hay varios enfoques, uno podría tener:

1. Uno podría usar la (algo ad hoc) de la construcción de un grupo libre como las palabras en $S$, y la construcción de la libre abelian grupo conmutativo palabras en $S$. Se podría definir un mapa de las palabras en $S$ a conmutativa palabras en $S$ ( $\mathbb{Z}[S]$ ). Uno podría, a continuación, compruebe que el núcleo de este mapa fue el subgrupo conmutador...

2. Uno podría argumentar que la asignación de la abelianization de la libre grupo de $G_S$ $S$ generadores en un grupo abelian $A$ es la misma cosa como la asignación de la libre grupo en sí mismo, debido a la característica universal de la abelianization. Mapa de los grupos gratis en $S$ $A$es para dar un mapa de conjuntos de $S \to A$. Este es el mismo universal de los bienes como el de la libre abelian grupo. Por el Yoneda lema, los dos objetos son isomorfos, ya que el descripciones de cómo hacer un mapa de ellos son idénticos.

3. Si uno desea ser un poco más sofisticado, fácilmente se podría considerar el adecuado functors entre las categorías de abelian grupos de la categoría de grupos, y en la categoría de conjuntos (es decir, abelianization, teniendo libre de grupos, olvidando la estructura) y, a continuación, la declaración es simplemente un caso especial de que el hecho de que tomar el adjunto de un functor es (hasta el isomorfismo natural) un anti-involución.

Al menos para mí, el argumento 1, parece más bien torpe. Los argumentos 2 y 3 parecen mucho más rápido y más convincente (al menos una vez uno compra el Yoneda lema). A mí, al menos, parece que la visualización de un grupo libre a través de la descripción de cómo mapa fuera de ella---que por Yoneda es suficiente para describir completamente---es mucho más satisfactoria que la construcción explícita. (He aquí un ejercicio similar que podría ser incluso clunkier sin flechas: mostrar que la abelianization functor conserva pushouts. Ver categóricamente este presenta un poco de dificultad (es un adjunto a la izquierda), pero si uno quisiera razón estrictamente el uso de la palabra la construcción, podría ser menos agradable.)

En gran parte de la geometría algebraica, de hecho, por encima de la filosofía, y describir un objeto por cómo uno se puede asignar a (o de) predomina: proyectiva del espacio, Grassmannians, el esquema de Hilbert y otros pueden ser descritos (y a menudo son más compacta describe!) de esta manera. El último inciso entre paréntesis significa que uno podría no tener una simple descripción concreta (por ejemplo, por explícita ecuaciones polinómicas corte de una variedad) del objeto (como en el caso del esquema de Hilbert). De ello se desprende que la caracterización de los objetos por la forma en que uno puede asignar en ellos puede ser muy importante para demostrar las propiedades de estos objetos. Como un ejemplo, el valuative criterio propio permite deducir que (los componentes conectados de) el esquema de Hilbert es la correcta.

No obstante, el grupo por encima de la teoría de ejemplo de admitir que es bastante sencilla declaración, permítanme dar un ejemplo donde la categoría de la filosofía es la única manera de conseguir una manija en las definiciones. Como se observa, la definición de un núcleo (o cokernel) en un abelian categoría sólo puede ser definido a través de los inherentemente flecha de la teoría universal de la propiedad. Un ejemplo donde usted tiene que utilizar esta característica universal (es decir, no es evidente qué elegir) es la categoría de poleas en un espacio topológico (o, más generalmente, en un sitio). En este caso se quiere decir que la cokernel es sólo lo que usted esperaría: tomar la pointwise (es decir, conjunto abierto por el conjunto abierto) cociente por el pointwise de la imagen. Pero esto no funciona en la gavilla de la categoría: el objeto asociado no es generalmente una gavilla. (Resulta que, afortunadamente, de que algo muy cercano a lo que uno podría esperar intuitivamente es cierto: uno tiene que aplicar el functor de sheafification (que es la izquierda adjunto de la inclusión de las poleas en la categoría de presheaves) a la "pointwise" cokernel, que es, en general, sólo un presheaf.)

Por lo tanto, si usted se preocupa acerca de los haces (y en última instancia, la teoría general de las poleas ha tenido un enorme impacto en la matemática moderna, un ejemplo de ello es la construcción de varios cohomology teorías sobre las variedades de sabores de la gavilla cohomology, con un estándar, por ejemplo, las pruebas de las conjeturas de Weil), entonces usted necesita esta flecha de la teoría de la filosofía para hacer sentido de la homológica construcciones.

Answer 2

He aquí una sencilla pregunta: ¿por qué el producto de dos grupos tienen el mismo conjunto subyacente como el producto Cartesiano de conjuntos, pero el subproducto de los dos grupos no es ni cerca la misma conjunto subyacente como la inconexión de la unión de conjuntos? Bueno, esto último sería una tontería, pero si usted sabe lo suficiente de la categoría de la teoría a la certeza de que el producto y el subproducto se doble el uno al otro, usted podría preguntarse qué principio subyacente es el encargado de romper la dualidad.

La razón es que el olvidadizo functor $\text{Grp} \to \text{Set}$ es representable; es $\text{Hom}(\mathbb{Z}, -)$. Covariante representable functors preservar los límites, pero no necesariamente colimits. Por otro lado, contravariante representable functors preservar colimits, pero no necesariamente los límites. Así que eso es lo que está rompiendo la dualidad, y ahora sabemos que es valioso para pensar de elementos de grupos como morfismos de $\mathbb{Z}$.

En última instancia, sin embargo, si el objetivo es hacer que alguien que entiende por qué la flecha de la teoría de la ideas son preferibles a trabajar directamente con una determinada concreción, ¿por qué no introducir a categorías importantes que no concretizable? Quizás uno de los ejemplos más importantes es el homotopy categoría de espacios topológicos. Si usted realmente desea entender esta categoría, usted realmente tiene que sentirse cómodo con el uso de functors que no son fieles, como $\text{Hom}(S^1, -)$ (el grupo fundamental, después de señalar).