Se me pide que demuestre que existe una $2\pi$ función periódica $f$ y un $2\pi$ función de periodo $g$ tal que $f\in L_{\infty}(\Pi)$ y $g\in \Lambda^{1}(\Pi)$ ( $g$ es Lipschitz) con las siguientes propiedades.
(1) $\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}||f - f(\cdot - h)||_{\infty} \neq 0$ (donde $||f||_{\infty} = $ ess sup $\left\{|f(t)|: -\pi \leq t < \pi\right\}$ )
y
(2) $\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}||g - g(\cdot - h)||_{\Lambda^{1}} \neq 0$ (donde $||f||_{\Lambda^{1}} = \sup \left\{|f(t)| : -\pi \leq t < \pi\right\} + \sup \left\{\frac{|f(t + y) - f(t)|}{|y|} : -\pi \leq t < \pi, y\neq 0\right\}$ )
Nota $f(\cdot - h)$ Me refiero a la función que asigna $x$ à $f(x-h)$ . Lo utilizamos en clase porque es muy cómodo pero no estoy segura de que sea estándar.
Parte (1) es sencillo, acabo de tomar $f$ sea la función escalonada $-\chi_{[-\pi,0)} + \chi_{[0,\pi)}$ . Resultó que $||f - f(\cdot - h)||_{\infty} = -2$ para todos $h > 0$ que era suficiente para demostrar (1).
Creo que la razón por la que tengo tantas dificultades con la parte (2) es que no entiendo muy bien lo que hace la "métrica" Lipschitz. Con la $L_{\infty}$ la métrica inducida es simplemente el lugar más grande donde las funciones difieren. No veo una interpretación obvia para la métrica inducida a partir de la norma de Lipschitz. ¿Algún consejo sobre por dónde empezar?
