Soluciones positivas para $\int_0^\pi \sin(\beta) \sin(\pi k\sin(\beta))=0$

Question

Considere la función $f:(0,\infty)\to\mathbb{R}$ definido por $$f(k)=\int_{0}^{\frac\pi 2} \sin(\beta) \sin(\pi k\sin(\beta))d\beta$$ $\text{ for all }k>0$ . Visite $$\min f^{-1}(\{0\})$$ si existe.

Se me planteó este problema cuando estudiaba un problema de física teórica. La existencia de una solución se puede demostrar mediante el teorema del valor intermedio ya que $f(1)>0>f(2)$ . Es mejor si es posible encontrar una solución general a la ecuación $f(k)=0$ de forma cerrada.

Primero escribí $f$ utilizando la función de Bessel como $2f(k)=\pi J_1(\pi k)$ . Pero, ¿existe una forma analítica de calcular las soluciones de la ecuación $J_1(x)=0$ ?

Answer 1

Esta integral puede expresarse, tras algunas manipulaciones, en términos de una función de Bessel:

$$\int_{0}^{\pi/2}\sin x\sin(\pi k \sin x) dx= \frac{\pi}{2}J_1(\pi k).$$

Se sabe que las funciones de Bessel del primer tipo tienen infinitos ceros en la recta real y que el más pequeño se encuentra aproximadamente en $\pi k =3.8317...$ .