Límite de $ \frac1{n -\log n}$ como $n$ se acerca a $\infty$ .

Question

No soy capaz de encontrar el siguiente límite. $$\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n-\log n}$$

Intenté reemplazar la función log por su expansión pero pronto me quedé atascado. También trató de dividir tanto numerador y denominador por $n$ para obtener lo siguiente $$\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{1}{n}}{1-\frac{\log\ n}{n}}$$ pero no pudo seguir adelante. ¿Puedo dividir el numerador y el denominador en $2$ ¿ límites separados ? Por favor, sugiera también cómo calcular este límite. (Puede sustituir $n$ por $n+1$ aquí)

Answer 1

Simplemente tenga en cuenta que:

$$\frac{1}{n-\log n}=\frac{1}{n}\frac{1}{1-\frac{\log n}{n}}\to 0\cdot 1=0$$

Answer 2

Guía:

Obsérvese que tenemos $\lim_{n \to \infty} \frac{\log n}{n} = 0$ puedes demostrarlo usando la regla de L'hopital y puedes usarla para responder a tu pregunta.

Answer 3

Utilización de equivalentes para grandes $n$ (recordando que $\log(n)< n)$ $$\frac{1}{n-\log (n)}=\frac{1}{n}\frac{1}{1-\frac{\log (n)}{n}}\sim \frac{1}{n}\left(1+\frac{\log (n)}{n} \right)=\frac{1}{n}+\frac{\log (n)}{n^2}$$