¿Ejemplo de espacio producto separable con cardinalidad mayor que el continuo?

Question

En Willard, se da que, para espacios Hausdorff no-singleton -

$\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ es separable si $X_\alpha$ es separable $\forall\alpha\in A$ y $|A|\le\mathfrak{c}$

Al leer la prueba, descubrí que podíamos demostrar $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ es separable $\implies$ $X_\alpha$ es separable sin suponer $X_\alpha$ sea Hausdorff. Hausdorff de $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ sólo se utilizó para mostrar $|A|\le\mathfrak{c}$ .

Entonces, ¿hay algún ejemplo de un espacio producto no-Hausdorff $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ tal que $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ es separable $\implies$ $X_\alpha$ es separable, $X_\alpha$ no es un singleton, y $|A|>\mathfrak{c}$

EDITAR:

Además, ¿existe un no-Hausdorff $T_1$ espacio de producto $\prod_{\alpha\in A}X_\alpha$ que cumple la condición anterior?

Si no, entonces un no-Hausdorff $T_0$ ¿espacio de productos?

Answer 1

Si no asumes la Hausdorffidad, puedes hacer prácticamente lo que quieras. Usted puede tomar $X_\alpha$ todos los espacios con topología trivial, y que $A$ sea de una cardinalidad tan grande como se desee, el producto tendrá la topología trivial y, en particular, será separable.

Por cierto, para el teorema, hay que suponer $X_\alpha$ además no son singletons (o más bien el teorema dice que sólo $\mathfrak{c}$ pueden tener más de un punto).

EDITAR . He aquí un ejemplo de un producto de $T_1$ espacios. Para cualquier cardinalidad $\kappa$ el producto de $\kappa$ -muchos espacios infinitos contables con la topología cofinita es separable. Como ha señalado bof en los comentarios, el conjunto de funciones constantes (que es contable) es denso.

Answer 2

Si $X$ es Hausdorff, y separable, entonces $|X| \le 2^\mathfrak{c}$ ; esto es clásico (Si $D$ es contable y denso, podemos demostrar que el mapeo $x$ à $f(x)=\{A \in \mathscr{P}(D): x \in \overline{A}\} \in \mathscr{P}(\mathscr{P}(D))$ define una inyección de $X$ en un conjunto de tamaño $2^{\mathfrak{c}}$ cuando $X$ es Hausdorff).

Un ejemplo en el que se alcanza la igualdad es $\{0,1\}^{\Bbb R}$ en la topología del producto (que es Hausdorff compacto, par). Para los espacios metrizables, el límite de $|X|$ es $\mathfrak{c}$ como puede verse fácilmente (que existen muchas secuencias en $D$ un conjunto denso contable).

Para $T_1$ espacios no hay tal límite como cualquier configure $X$ en la topología cofinita es (compacta, $T_1$ y) separables, por ejemplo

Cualquier producto de espacios de 2 puntos de Sierpinski tiene un singleton como subconjunto denso, pero también puede ser arbitrariamente grande. (Se trata de un $T_0$ pero no $T_1$ ejemplo). Cualquier producto de espacios cofinitos es también separable. Por tanto, la hausdorffidad es esencial para limitar el tamaño de los espacios separables, en productos o en cualquier otro lugar.