Puede una secuencia de funciones infinito como límite, exactamente en los racionales?

Question

Alguien me preguntó. Y dijo que es un ejercicio de Rudin del Real y el Análisis Complejo.

¿Existe una secuencia de funciones continuas $f_n(x)$, de tal manera que $\lim_{n \to \infty} f_n(x)=+\infty$ fib $x \in \mathbb Q$ (o irrationals)?

Por un lado, sabemos que si el límite de esta función existe, entonces no podemos tener ambas como de categoría de Baire teorema se aplica. Pero tal vez va a suceder que el suplim de esta secuencia es infinito en otros puntos(en la que el límite no existe). Porque lim es igual a infinito es el mismo que inflim es igual a infinito, así que si alguien puede demostrar que racionales no puede ser el (contables)las intersecciones de (contables)los sindicatos de G delta set y luego se hace.

Pero, por otro lado, sospecho que si dejamos $f_n(x)=\cos(\pi\cdot n!x)^n \cdot n$ es un ejemplo.

Answer 1

Puesto que hay un homeomorphism de $\Bbb R $ de los que tomaron $\Bbb Q $ a la diádica racionales, es decir, los números racionales donde el denominador es una potencia de 2, (ver aquí para ver un ejemplo de una función de este tipo), podemos restringir nuestra atención a la búsqueda de una secuencia de funciones convergentes hacia el infinito exactamente en el dyadics.

Ahora para $ p, d \in \Bbb R $ dejamos $ h_{p, d} $ denotar un sombrero de función, me. e. una función continua con $ h_{p, d}(p) =1$$ h_{p, d}(x) =0$$ x \notin [p-d, p+d]$.

Ahora definir $ f_n = \sum_{k \in \Bbb Z} n h_{k/2^n,2^{-n-2} }$

Es obvio que para diádica x, $ f_n (x) \to \infty $$ n \to \infty $.

Si $x$ no es diádica, hay infinitamente muchos $ n $ $\{2^n x\} \in [1/4,1/2]$ (aquí los corchetes denotan la parte fraccionaria del número real). Para ver esto, considere el binario de expansión de $ x $ y tenga en cuenta que, dado que esta expansión no está permitido para terminar en una cadena infinita de ceros o en una cadena infinita de aquellos, hay infinitamente muchos enteros $ n $ de manera tal que el $ n+1$-ésimo dígito después del punto es un $0$ e las $ n+2$-th es un $1$.

Pero, con una selección de $ n $, obtenemos $ f_n (x)=0$, lo que muestra que $ f_n (x )\not \to \infty $$ n \to \infty$.