Hallar el valor de $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$

Question

Hallar el valor de $\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{1999^2}+\frac{1}{2000^2}}$

He encontrado el término general de la secuencia.
Es $\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}$
Así que la secuencia se convierte en $\sum_{k=1}^{1999}\sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}$
Traté de telescopio, pero no pude dividirlo en dos fracciones parciales.Y esto planteó a $\frac{1}{2}$ ¿Qué debo hacer para encontrar la respuesta?

Answer 1

Después de tomar LCM, obtenemos el término general de la serie como:

$$\sqrt{\frac{(k^{2}+k+1)^{2}}{k^{2}(k+1)^{2}}} $$

$$=> \frac{k^{2}+k+1}{k^{2}+k}$$

$$=> 1 + \frac{1}{k^{2}+k}$$

Así que tenemos $$\sum_{k=1}^{1999} 1 + \frac{1}{k^{2}+k}$$

$$=> 1999 + \sum_{k=1}^{1999}\frac{1}{k(k+1)}$$

$$=> 1999 + \sum_{k=1}^{1999}\frac{1}{k} - \frac{1}{(k+1)}$$

$$=> 1999 + 1 - \frac{1}{2000}$$

$$=> 2000 - \frac{1}{2000}$$

Answer 2

Dado $$1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2} = 1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}-\frac{2}{k(k+1)}+\frac{2}{k(k+1)}$$

Así que $$1^2+\left[\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)}\right]^2+2\left[\frac{1}{k}-\frac{1}{(k+1)}\right]=\left[1+\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right]^2$$