Duda en Suma nº 29 de Rudin

Question

Demostrar que todo conjunto abierto en $R$ es la unión de un número contable de intervalos disjuntos.

Aunque esta pregunta ha estado en el intercambio de pila para demasiadas veces, pero aquí está mi intuición a la misma. Puede alguien sugerir si estoy en el camino correcto.

Tomo el ejemplo del conjunto abierto $(a,b)$ Así que tomo el primer segmento como $(a, b-1)$ el segundo segmento como $[b-1,b-1/2)$ el tercero como $[b-1/2,b-1/3)$ y así sucesivamente ... Mi lógica detrás de esto es que $(0,1-1/n)$ cubre $(0,1)$ y así $(a, b-1/n)$ cubre $(a, b)$ Los intervalos también son disjuntos y su unión también es contable. Ahora, mi pregunta es la pista dada en rudin es utilizar el hecho de que $R$ es separable, pero ¿dónde lo uso? ¿Me estoy equivocando?

Answer 1

Tomo el ejemplo del conjunto abierto $(a,b)$ Así que tomo el primer segmento como $\color{red}{(a, b-1)}$ el segundo segmento como $[b-1,b-1/2)$ el tercero como $[b-1/2,b-1/3)$ y así sucesivamente ... Mi lógica detrás de esto es que $(0,1-1/n)$ cubre $(0,1)$ y así $(a, b-1/n)$ $\color{red}{ covers}$ $(a, b)$ Los intervalos también son disjuntos y su unión también es contable. Ahora, mi pregunta es la pista dada en rudin es utilizar el hecho de que $R$ es separable, pero ¿dónde lo uso? ¿Me estoy equivocando?

Por lo que ha escrito, supongo que se refiere a

$$(a,b)=(a,b-1) \cup (b-1,b-\frac{1}{2}) \cup (b-\frac{1}{2},b-\frac{1}{3}) \cup \dots$$

Pero hay muchos problemas con esta lógica. Los errores son

$1$ -¿Y si ? $a > b-1$ ?

$2$ -Tu conjunto abierto no tiene por qué ser de la forma $(a,b)$ . Puede ser de la forma $\bigcup_{i\in I}(a_i,b_i)$ donde $I$ puede ser un incontable también.

$3$ -En segundo lugar, su LHS puede perder los puntos $\Big\{b-1,b-\frac{1}{2},b-\frac{1}{3},\dots\Big\}$ Así que no puedes decir que tu conjunto $(a,b)$ está cubierto

Ahora la pista puede darte una solución más fácil. Puedes pensar en ello. La pista dice que existe un conjunto denso contable. El conjunto de los números racionales $\mathbb{Q}$ es contable y denso en $\mathbb{R}$ .