(Lógica) Escritura formal de un número racional en lógica

Question

¿Cómo "escribo formalmente" un número racional? $a_i$ en una fórmula lógica?

Por ejemplo, me enseñaron que $x^2$ debería escribirse formalmente como $F_\times(x_1,x_1)$ , $1$ debería escribirse formalmente como $c_1$ , $2$ debería escribirse formalmente como $F_+(c_1,c_1)$ etc.

Espero que mi pregunta no sea demasiado ambigua.

Esto está relacionado con mi pregunta anterior: ¿Cómo demostrar que la propiedad de ser algebraicamente cerrado se refleja en las extensiones elementales?

La idea principal es que quiero escribir la fórmula $\phi_n$ [crédito a André Nicolas que lo sugirió] , $$\forall w_0\forall w_1\cdots\forall w_n \exists x\left(x^{n+1}+w_nx^n+\cdots+w_0=0\right).$$

y especificar que todos los $w_i$ son racionales.

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información general sobre la cuestión subyacente

Si $p(x)=x^{n+1}+a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0$ es un polinomio tal que $\{a_0,\cdots,a_n\}\subset\mathbb{Q}$ entonces $p(x)=0$ tiene solución en $F$ .

Supongamos que la estructura $(F,0,1,+,\cdot)$ es un submodelo elemental contable del campo complejo $(\mathbb{C},0,1,+,\cdot)$ .

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Muchas gracias por su ayuda.

Answer 1

No necesitas cuantificar sobre los coeficientes para resolver tu problema original ¿Cómo demostrar que la propiedad de ser algebraicamente cerrado se refleja en las extensiones elementales? (como he explicado allí).

La teoría de primer orden de campos algebraicamente cerrados de una característica dada es decidible. En la característica $0$ caso, añadir un predicado para los números racionales resulta en una teoría indecidible, por lo que no es un buen camino para tu problema original.

Answer 2

Puede describir cualquier específico racional mediante una fórmula. Busquemos, por ejemplo, una fórmula $\psi_{2/3}(x)$ que "dice" que $x=2/3$ .

Utilizamos la notación implícita en su mensaje. Una fórmula $\psi_{2/3}(x)$ que hace el trabajo es: $$F_{\times}(F_+(F_+(c_1,c_1),c_1),x)=F_+(c_1,c_1).$$ Cualquier número racional puede especificarse de esta forma. Los negativos requieren un truco adicional.

Así, para cualquier específico polinomio $P(x)$ con coeficientes racionales, podemos escribir una sentencia que diga que este polinomio en particular tiene un cero. Y si queremos especificar que cada polinomio no constante con coeficientes racionales tiene un cero, podemos hacerlo utilizando un conjunto contablemente infinito de axiomas.

Sin embargo, no necesita los predicados que identifican los racionales específicos. Pues si $P(x)$ es un polinomio con coeficientes racionales, entonces $P(x)$ tiene un cero si y sólo si un cierto polinomio $P^\ast(x)$ tiene un cero, donde $P^\ast$ se obtiene a partir de $P$ multiplicando por un número entero adecuado, un denominador común de los coeficientes de $P$ .

Y no necesitamos números enteros negativos. Para el polinomio $P(x)$ tiene un cero si y sólo si la ecuación $P_{+}(x)=P_{-}(x)$ tiene solución, donde $P_{+}$ es el polinomio cuyos coeficientes son los coeficientes positivos de $P$ y $P_{-}$ es el polinomio cuyos coeficientes son los valores absolutos de los coeficientes negativos de $P$ .

Observación: Como se explica en la respuesta de Rob Arthan, introducir un nuevo símbolo de predicado que diga "soy racional" o "soy natural" tiene consecuencias indeseables, para la decidibilidad y también para la teoría de modelos.