¿Cómo se puede obtener la matriz de sombreros de mínimos cuadrados a partir de la matriz de sombreros GLM?

Question

La matriz de sombreros GLM es $$\mathbf{H}_{GLM} = \mathbf{W^{1/2}X(X^{T}WX)^{-1}X^{T}W^{1/2}}$$

donde $\mathbf{W}$ es una matriz diagonal con elementos $w_i = (\delta\mu_i/\delta\eta_i)^2/\text{var}(y_i).$ Para OLS, la función de enlace es la identidad, por lo que $\mu_i = \eta_i$ y $\delta\mu_i/\delta\eta_i = 1.$ Además, el componente aleatorio es gaussiano, por lo que $\text{var}(y_i) = \sigma^2$ .

A partir de esto puedo expresar $\mathbf{W}$ como $\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}.$ Introduciendo esto en la matriz de sombreros GLM, obtengo

\begin{align}\mathbf{H}_{OLS} &= \left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)^{1/2}\mathbf{X(X^{T}}\left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)\mathbf{X)^{-1}X^{T}}\left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)^{1/2} \\ &=\frac{1}{\sigma^4}\mathbf{X(X^{T}X)^{-1}X^{T}} \end{align}

¡Pero eso no está bien! Que $\frac{1}{\sigma^4}$ término no tiene cabida aquí. La respuesta correcta debería ser $$\mathbf{H}_{OLS} = \mathbf{X(X^{T}X)^{-1}X^{T}}$$

¿Qué he hecho mal?

Answer 1

En \begin{align}\mathbf{H}_{OLS} &= \left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)^{1/2}\mathbf{X(X^{T}}\left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)\mathbf{X)^{-1}X^{T}}\left(\frac{1}{\sigma^2}\mathbf{I}\right)^{1/2}, \end{align} tenemos (dos veces, una a la izquierda, otra a la derecha) $\left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^{1/2}=\frac{1}{\sigma}$ ainsi que $$ \left(\frac{1}{\sigma^2}\right)^{-1}=\sigma^2 $$ a medio plazo.