Pidiendo ayuda para demostrar una deducción basada en un teorema relacionado con Funciones con determinante distinto de cero

Question

Estoy estudiando por mi cuenta Ch-13( Implicit function and Extrememum Problems) de Tom M Apostol Mathematical Analysis.

Tengo una pregunta.

Añadir imagen :

Ahora en la página siguiente el autor escribe que el Teorema 13.4 implica que una función continuamente diferenciable con un Jacobiano no evanescente en un punto a tiene una inversa local en la vecindad de a .

Mi pregunta : ¿cómo es que sólo 1-1 implica que la inversa existe en la vecindad de a . ¿Por qué no es necesario aquí?

He leído un teorema que dice que una función monótona y 1-1 implica que existe inversa. Pero aquí las derivadas parciales no son cero ( Teorema 13.4) . Entonces, ¿cómo puedo deducir que existe inversa local.

Answer 1

Supongamos que $U$ es el nbhd abierto en el que la función es uno-uno. Luego se mira la restricción de $ f$ como $f_U :U \rightarrow f(U) $ que es uno-uno y onto. Por lo tanto usted tiene inversa en el nbhd.