Cómo resolver una ecuación integral $x(t)-\int_{0}^{1}[\cos (t) \sec (s) x(s)]ds=\sinh (t), 0\leq t\leq 1.$

Question

Estaba pensando en el siguiente problema:

La ecuación integral $x(t)-\displaystyle \int_{0}^{1}[\cos (t) \sec (s) x(s)]ds=\sinh (t), 0\leq t\leq 1,$ tiene

(a)sin solución,

(b)una solución única,

(c)más de una solución pero finitamente muchas,

(d)infinitas soluciones.

Mis intentos: De la ecuación dada,obtenemos $$x(t)=\cos(t)\int_{0}^{1}\sec(s)x(s)ds + \sinh(t)=C \cos(t)+\sinh(t)$$ donde $C=\int_{0}^{1}\sec(s)x(s)ds$ y así $$C=\int_{0}^{1}\sec(s)[\cos(s)C +\sinh(s)]ds=C\int_{0}^{1}ds+\int_{0}^{1}\sec(s)\sinh(s)ds$$ y por lo tanto obtenemos, $\int_{0}^{1}\sec(s)\sinh(s)ds=0.$

A partir de aquí, no he podido avanzar. ¿Voy en la dirección correcta? Gracias de antemano por su tiempo.

Answer 1

$$x(t)=\cos t\int_0^1x(s)\sec s\,ds + \sinh t=C\cos t+\sinh t$$ donde $C=\int_0^1x(s)\sec s\,ds$ y así $$C\cos t=\int_0^1[C\cos s+\sinh s]\sec s\,ds=C\int_0^1ds+\int_0^1\sec s\sinh s\,ds=C+k,$$ donde $k=\int_0^1\sec s\sinh s\,ds\approx0.739$ por lo que, al no poder elegir $C$ hará que esta ecuación sea cierta para todos $t$ no hay solución.