Cerrado Intervalos infinitos

Question

Texto pegado del libro de Cálculo de Thomas Finney aquí:

"Los intervalos infinitos son cerrados si contienen un punto final finito, y abiertos en caso contrario. La línea real entera es un intervalo infinito que es a la vez abierto y cerrado".

¿Puede alguien explicarme con palabras sencillas las dos afirmaciones anteriores? Soy estudiante de matemáticas aplicadas, así que no entenderé nada de matemáticas puras.

Answer 1

Creo que una afirmación mejor (y quizá más correcta) es la siguiente: un intervalo infinito es cerrado si y sólo si contiene todos sus puntos extremos. A la inversa, un intervalo infinito es abierto si y sólo si no contiene ningún punto final.

Obsérvese que estas dos afirmaciones no son la negación de la otra, como lo demuestra el intervalo infinito $( -\infty , +\infty ) = \mathbb{R}$ . Este intervalo no tiene ningún punto final, por lo que no contiene ningún punto final, y por lo tanto es abierto. Además, como no tiene puntos finales, es vacuamente los contiene a todos y, por tanto, está cerrado.

Sólo hay 5 tipos diferentes de intervalos infinitos:

• $(a , +\infty)$ ;
• $[a , +\infty)$ ;
• $(-\infty,a)$ ;
• $(-\infty,a]$ y
• $(-\infty , +\infty)$ .

Así podremos comprobar fácilmente si están abiertas o cerradas (¡o ambas cosas!).

Answer 2

Un intervalo infinito tiene una de estas formas:

• $(-\infty,\infty)$ que es a la vez abierto y cerrado.
• $(a,\infty)$ o $(-\infty,b)$ que están abiertos.
• $[a,\infty)$ o $(-\infty,b]$ que están cerrados.