Combinación convexa de un número contable de puntos densos en el cierre de un conjunto convexo

Question

Fijar cualquier número entero positivo $n$ y supongamos que $C$ es un subconjunto convexo no vacío y acotado de $\mathbb R^n$ .

Sea $\overline C$ denotan el cierre de $C$ (con respecto a la topología euclidiana en $\mathbb R^n$ ).

Supongamos que $\{y^m\}_{m=1}^{\infty}$ es un subconjunto contable y denso de $\overline C$ y que $(\lambda_m)_{m=1}^{\infty}$ es una secuencia de números estrictamente positivos cuya suma es $1$ .

Mi conjetura es que $$y\equiv\sum_{m=1}^{\infty}\lambda_my^m\in C.$$

Es evidente que esta combinación convexa infinita debe estar contenida en $\overline C$ pero creo que la positividad de los pesos y la densidad de $\{y^m\}_{m=1}^{\infty}$ en $\overline C$ realmente obligan $y$ estar en $C$ .

¿Puede alguien ayudarme a presentar un argumento riguroso que apoye esta corazonada?

Answer 1

Sea $x$ sea un punto en el interior relativo de $C$ , $y$ cualquier punto de la clausura de $C$ y $\lambda$ un número estrictamente comprendido entre $0$ y $1$ . Entonces $\lambda x+(1-\lambda)y$ está en el interior relativo de $C$ . En efecto, si $O\subseteq C$ es una vecindad relativamente abierta de $x$ entonces $\lambda O+(1-\lambda)y$ es una vecindad de $\lambda x+(1-\lambda)y$ incluido en el cierre de $C$ . Debe haber un barrio más pequeño totalmente incluido en $C$ .

La sucesión debe contener un punto en el interior relativo ya que es densa, y se puede escribir la suma infinita como una combinación convexa adecuada de este punto y un punto en el cierre de $C$ por lo que el resultado se deduce del argumento anterior.

Answer 2

El resultado es válido para una medida de probabilidad arbitraria sobre $C$ .

En este caso, tenemos la medida $p = \sum_m \lambda_m 1_{ \{ y^m \} }$ .

He aquí un enfoque ligeramente tedioso que implica la inducción sobre la dimensión, omitiendo algunos detalles.

Sea $\bar{y}= \int_C y dp(y)$ donde $p$ es una medida de probabilidad. Afirmamos que $\bar{y} \in C$ .

Si $\phi$ es una función lineal, vemos que $\phi(\bar{y}) = \int_C \phi(y) dp(y)$ y, por tanto, si $\phi(c) \le \alpha$ para todos $c \in C$ vemos que $\phi(y) \le \alpha$ y por lo tanto $y \in \overline{C}$ .

Supongamos que $n = 1$ y $\bar{y} \in \overline{C} \setminus C$ . Entonces $\bar{y} > y$ para todos $y \in C$ o $\bar{y} < y$ para todos $y \in C$ (ya que $\bar{y}$ sólo puede ser uno de dos puntos). Por lo tanto, si suponemos lo primero vemos que si $\int_C \phi(y) dp(y) = \bar{y}$ entonces $y = \bar{y}$ para ae. $[p]$ $y \in C$ que es una contradicción, y lo mismo para el "otro" lado. Por lo tanto, vemos que $y \in C$ .

Supongamos ahora que el resultado es cierto para las dimensiones $1,...,n-1$ .

Supongamos de nuevo $\bar{y} \in \overline{C} \setminus C$ . Existe una función lineal $ \phi$ tal que $\phi(y) \le \phi(\bar{y})$ para todos $y \in C$ . Como en el caso anterior, se deduce que $\phi(y) = \phi(\bar{y})$ para ae. $[p]$ $y \in C$ . Sea $H=\phi^{-1}(\phi(\bar{y}))$ , y que $C_0 = C \cap H$ . Tenga en cuenta que $p(C \setminus C_0) = 0$ y así $\bar{y} = \int_{C_0} y dp(y)$ . Desde $H$ tiene dimensión $n-1$ vemos que $\bar{y} \in C_0 \subset C$ .