$M = \int_0^{\pi/2} \frac{\cos x}{(x+2)} dx$ y $N = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^2} dx$ entonces el valor de $M - N$ ¿lo es?

Question

Las opciones son : (A) $\pi\quad$ (B) $\frac{\pi}{4}\quad$ (C) $\frac{2}{\pi + 4}\quad$ (D) $\frac{2}{\pi - 4}$

Lo he resuelto utilizando la expansión de Taylor de los numeradores. Ej, $\cos x = \cos ((x+2) -2) = \cos(x+2) \cos 2 + \sin(x+2) \sin 2$ y utilizando la fórmula de Taylor expandida $\cos(x+2)$ y $\sin(x+2)$ para obtener polinomios de $(x+2)$ que está en el denominador. Pero debido al denominador, estoy obteniendo resultados en términos de logaritmo, que no coincide con ninguna de las opciones dadas.

Answer 1

Utilizando la integración por partes, podemos escribir N como $$N = -\frac{\sin x\cos x}{x+1}\vert_0^{\frac{\pi}{4}}+\int_0^\frac{\pi}{4}\frac{\cos^2x-\sin^2x}{x+1}dx=-\frac{2}{\pi+4}+\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\cos2x}{x+1}dx$$ En la segunda integral, dejemos que $x \to 2x \implies dx \to 2dx$ $$\therefore N=-\frac{2}{\pi+4}+\int_0^\frac{\pi}{2}\frac{\cos x}{x+2}dx=-\frac{2}{\pi+4}+M$$ $$\therefore M-N=\frac{2}{\pi+4}$$

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P.S Gracias a Claude Leibovici por la expresión corregida.

Answer 2

El verdadero problema es $$N = \int_0^{\color{red}{\frac \pi 4}} \frac{\sin (x) \cos (x)}{(x+1)^2}\, dx$$ y la respuesta es $(C)$ .