Encuentre $a,b,c,d$ tal que $\forall x \in \mathbb{R} : (x^2+cx+d)^{10}=(2x-1)^{20}-(ax+b)^{20}$

Question

Uno de mis colegas me mostró la siguiente pregunta y me pidió que la resolviera.
encontrar $a,b,c,d$ como números reales tales que $$\forall x \in \mathbb{R} : (x^2+cx+d)^{10}=(2x-1)^{20}-(ax+b)^{20}$$ así que empecé a poner $x$ en la ecuación, por ejemplo $x=0 \to d^{10}=1-b^{20}$ o $x=1 \to (1+c+d)^{10}=1-(a+b)^{20} $ y así sucesivamente...
pero sinceramente, no tengo ni idea de encontrar $a,b,c,d$ de manera ordinaria.
otro ensayo fue mostrar para el coeficiente l.h.s y R.h.s, pero es complicado de resolver $$\underbrace{(x^2)^{10}}_{1x^{20}}+\cdots=\underbrace{(2x)^{20}-(ax)^{20}}_{1x^{20}}+\cdots$$

¿alguien puede ayudarme?
Gracias de antemano

Answer 1

Tenemos que para $x \neq \frac12$

$$(x^2+cx+d)^{10}=(2x-1)^{20}-(ax+b)^{20} \\\iff \frac1{4^{10}}\left(\frac{x^2+cx+d}{x^2-x+\frac14}\right)^{10}=1-\left(\frac{ax+b}{2x-1}\right)^{20}$$

a partir de la cual encontramos $c=-1$ , $d=\frac14$ y $a=- 2b$ tal que

$$\frac1{4^{10}}=1-b^{20} \implies b=\pm\left(1-\frac1{4^{10}}\right)^\frac1{20}$$

Answer 2

Puede que le resulte un poco más rápido:

$x = \frac12 \implies \quad (\frac14+\frac12c+d)^{10}+(\frac12a+b)^{20}=0 \\ \implies d = -\frac14-\frac12c,\; b=-\frac12a$

Ahora $x=0 \implies d^{10}=1-b^{20} = 1-\left(\frac{a}2\right)^{20}$ y

$x = 1 \implies (1+c+d)^{10}=1-(a+b)^{20}= 1-\left(\frac{a}2\right)^{20}=d^{10} \\ \implies 1+c \in\{0, -2d\}$ .

No es difícil terminar ahora, conseguir $(c, d) = ( -1, \frac14)$ y $a = \pm 2 \cdot\sqrt[20]{1-\frac1{4^{10}}} \approx \pm 1.99999990, b = \mp \sqrt[20]{1-\frac1{4^{10}}} \approx \mp 0.99999995$ .