Si $X$ está totalmente acotado, entonces cada secuencia contiene una subsucesión de Cauchy

Question

Intenté la prueba, solo quiero ver si es correcta:

Supongamos que $X$ es totalmente acotado y $(x_n)$ es una secuencia en $X$. Entonces $(x_n)$ tiene una subsecuencia contenida en una bola de radio $1/2$. Esta subsecuencia tiene una subsecuencia contenida en una bola de radio $1/3$ y así sucesivamente. Tomemos el primer término de cada una de estas subsecuencias y llamemos a esta secuencia $(x_{n_k})

.

Entonces, si $m>l$, $d(x_{n_m},x_{n_l})< \frac{2}{n+1}$. Y como $\frac{2}{n+1}\rightarrow 0$, se sigue que $(x_{n_k})$ es una secuencia de Cauchy.

Answer 1

Es un enfoque correcto, excepto que debería ser $\frac{2}{l+1}$. Pero hay que tener en cuenta que tu demostración tal como está formulada utiliza el axioma de elección dependiente, porque no puedes elegir de manera única la subsecuencia en la bola de radio deseado si hay más de una y no tienes forma de desempatar.