Cómo inferir sobre el subespacio a partir de su span - álgebra lineal

Question

Los siguientes subespacios se dan en $\Bbb R^3$ :

$W=\text{span}\{(1,2,-1),(0,1,1),(2,5,-1)\}$

$U=\text{span}\{(-2,-6,0),(1,1,-2)\}$

Es $W=U$ ?

Me he dado cuenta: $2(1,2,-1)+(0,1,1)=(2,5,-1) \Rightarrow W=sp\{(1,2,-1),(0,1,1)\} $

También eso: $U=sp\{(-2,-6,0),(1,1,-2) \}=sp\{(1,3,0),(1,1,-2)\}$

Y: $(1,3,0)+(1,1,-2)=(2,4,-2)=(1,2,-1)$ que es el primer vector de $spW$ .

Y: $(1,2,-1)+(0,1,1)=(1,3,0)$ que es el primer vector de $spU$ .

Pero a partir de aquí no sé muy bien cómo escribir una deducción sobre U y W.

Agradecería cualquier consejo.

Answer 1

Sólo tenemos que demostrar que cada vector de cualquiera de los dos conjuntos es una combinación lineal de vectores del otro conjunto.

Para los subespacios simplificados que has calculado:

$$W=\text{span}\{(1,2,-1),(0,1,1)\}$$

$$U=\text{span}\{(1,3,0),(1,1,-2)\}$$

Tenemos:

$(1,2,-1)+(0,1,1)=(1,3,0)$ y $(1,2,-1)+(-1)(0,1,1)=(1,1,-2)$

Así que son iguales.

---

Otra forma de demostrar que dos subespacios de la misma dimensión son iguales es calcular sus vectores normales:

$ N_1= \begin{bmatrix} i&j&k\\ 1&2&-2\\ 0&1&1\\ \end{bmatrix} $

A partir de ahí tenemos $N_1=3i+j+k$ .

$ N_2= \begin{bmatrix} i&j&k\\ 1&3&0\\ 1&1&-2\\ \end{bmatrix} $ Entonces $N_2$ sería $-6i-2j-2k$ .

Los dos vectores normales son múltiplos entre sí, por lo que los dos subespacios son iguales. $\blacksquare$