Distancia relativa en Códigos

Question

Estoy estudiando teoría de la codificación. En mi clase vimos que los códigos Hadamard tienen una distancia relativa óptima de $1/2$ . La distancia relativa de un código $C$ con una distancia mínima $d(C)$ y la longitud del bloque $n$ se define por: $$\dfrac{d(C)}{n}.$$

Según esto, la distancia mínima para un código Hadamard con longitud de bloque $n=2^k$ es $\dfrac{n}{2} = 2^{k-1}$ . ¿Existe algún código $C$ con longitud de bloque $n$ y distancia mínima $d(C)>n/2$ ? ¿Cómo puedo demostrarlo?

Answer 1

Sí, existen códigos de este tipo, pero tienen necesariamente un índice muy bajo. Por ejemplo:

• El código de repetición de longitud $n$ tiene una distancia mínima $n$ . Su rango es uno, por lo que su tasa es $\rho=1/n$ .
• Si $n=3t$ es múltiplo de tres, tenemos los códigos lineales binarios de rango dos y distancia mínima $2n/3=2t$ . Se obtienen las cuatro palabras de este código repitiendo cada uno de los patrones de bits $000, 011, 101$ y $110$ $t$ veces.
• Del mismo modo, el límite de Griesmer nos dice que si $d=4t$ es múltiplo de cuatro, entonces un código lineal binario de rango tres tendrá una longitud de al menos $n=7t$ . Tales códigos existen y se obtienen replicando las ocho palabras de un $(7,3,4)$ -código $t$ veces. Se obtiene un $(7,3,4)$ como subcódigo de peso par del $(7,4,3)$ Código Hamming. Estos códigos tienen una distancia relativa $4/7$ .

Answer 2

Depende del tipo de código que quieras. En su forma más simple, un $q$ -código de bloque de longitud $n$ no es más que un subconjunto de $\mathbf{F}_q^n$ . Por lo tanto, es trivial construir un código de bloques de longitud $n$ con una distancia mínima $n$ : $\{0^n,1^n\}$ . Este código también es lineal, e incluso cíclico.