Solicitud de referencia: Teorema suave de Arzela-Ascoli

Question

Utilizo este resultado normalmente vinculado al teorema de Arzela-Ascoli:

Sea F un subconjunto de C(X) donde X es un conjunto convexo en $R^n$ . Supongamos que cada función en F es diferenciable y existe un límite uniforme en las derivadas parciales de estas funciones en F. Entonces F es equicontinuo.

Pero no encuentro una referencia que pueda citar para mi proyecto... ¿alguien sabe dónde puedo encontrar esto en un libro o artículo? Cada versión que encuentro es más general o menos que esta versión exacta....

Answer 1

Este resultado no es ningún tipo de teorema de Arzela-Ascoli (que es una afirmación sobre la compacidad). Se trata más bien de una forma del Teorema del Valor Medio, o quizá de la Desigualdad del Valor Medio (ya que la relación $f(a)-f(b) = f'(c)(a-b)$ se convierte en una desigualdad en dimensiones superiores):
$$ |f(a)-f(b)|\le \sup_\Omega \|\nabla u\| \ \|a-b\| $$ donde $\Omega$ es un conjunto convexo que contiene $a, b$ .

Se puede encontrar en Rudin Principios del análisis matemático (Teorema 9.19, página 218 de la 3ª edición), y yo esperaría que estuviera en buenos libros de texto de cálculo multivariable como el de Apostol.